数学知识什么时候能派上用场呢？
在地球上某个地方的一间教室里，一位数学老师布置了30 道定积分练习题作为学生的周末作业。要做完这些题，肯定需要花费大量时间，因此，一名学生大声地表达了自己的疑惑。
这名学生的兴趣非常广泛，但是她对做数学题几乎没有任何兴趣。她自己也清楚这一点，因为上个周末，她就花了好多时间完成另外30 道（其实没有多大区别的）定积分练习题。她看不出做这些题有什么意义，于是与老师进行了交流。交流过程中，这名学生准备提问老师*不愿意回答的问题：“这些知识我什么时候能用上呢？”
这位老师很可能会这样回答：“我知道这些题目非常枯燥，可是你别忘了，你还不知道自己将来会选择什么样的职业。现在，你看不到这些知识与你有什么关系，但是你将来从事的职业有可能非常需要这些知识，所以你应该快速准确地完成这些定积分练习题。”
师生两人都知道这其实是一个谎言，而且学生通常不会对这样的回答感到满意，毕竟，即使有的成年人可能会用到积分、(1–3x 4x2)–2dx、余弦公式或者多项式除法等知识，人数也屈指可数。
这个回答就连老师也不会满意。我对于这一点很有发言权，因为在我多年担任数学老师的时光里，我就为成百上千的大学生布置过很多定积分练习题。
值得庆幸的是，对于这个问题，我们能找到一个更好的答案：
“尽管一些数学课程会要求你完成一道又一道计算题，让你觉得这些机械的计算过程不榨干你的所有耐心与精力就不会罢休，但事实并非如此。学习数学必须计算这些定积分题，就像足球运动员需要接受举重与韧性训练。如果你希望踢好足球（我是指抱着一种认真的态度，达到竞技水平），就必须接受大量枯燥、重复、看似毫无意义的训练。职业足球运动员在比赛时会用到这些训练内容吗？不会的，我们从未在赛场上看到有足球运动员举杠铃或者在交通锥之间穿梭前行。但是，我们肯定会看到他们应用力量、速度、观察力与柔韧性，而要提高这些能力，他们必须常年接受枯燥乏味的训练。可以说，这些训练内容是足球运动的一个组成部分。
“如果你选择足球作为谋生手段或者希望加入校队，你就别无选择，只能利用周末时间，在训练场上接受大量枯燥乏味的训练。当然，如果你觉得自己无法接受这样的训练，你仍然可以踢足球，只不过是和朋友们一起踢，纯粹以娱乐为目的。我们也有可能穿过防守队员的防线完成华丽的传球，或者像职业运动员那样起脚远射得分，并为此激动不已。此外，踢足球还能强健体魄，愉悦心情。与坐在家里观看职业比赛的电视转播相比，效果要好得多。
“数学与足球非常相似。你的就业目标可能与数学没有相关性，这很正常，大多数人的情况都是这样。但是，你仍然可以运用数学知识，甚至你手头正在做的事情有可能就用到了数学知识，只不过你自己不知道。数学与逻辑推理紧密地交织在一起，可以增强我们处理事务的能力。掌握了数学知识，就像戴了一副X射线眼镜一样，我们可以透过现实世界错综复杂的表面现象，看清其本质。多少个世纪以来，由于人们辛勤钻研、反复辩论，数学的各种公式与定理已经得到了千锤百炼，可以帮助我们在处理事务时避免犯错。利用数学这个工具，我们可以更深入、更准确地理解我们这个世界，而且可以取得更有意义的成果。我们需要做的就是找到一位良师或者一本好书，引导我们学习数学中的一些规则和基本方法。现在，我愿意担任这样的指导老师，告诉你如何实现这个目的。”
其实，由于时间关系，我在上课时基本不会这样长篇累牍地解释这个问题。但是在写书时，我可以稍微展开一些。我要告诉你，我们每天考虑的那些问题，包括政治、医药、商业、宗教等方面的问题，都与数学有着不可分割的联系。我希望这个事实有助于你接受我上文中介绍的那个重要观点。同时，了解这个观点还可以帮助你培养更敏锐的洞察力。
不过，如果那名学生非常精明，即使我真的在课堂上苦口婆心地劝导，她仍然会心存疑惑。
“老师，你的话听起来很有道理。”她会说，“但是，太抽象了。你刚才说掌握了数学知识之后，本来有可能做错的事，现在不会出错了。但是，哪些事情会是这样的呢？能不能举一个真实的例子？”
这时候，我会给她讲亚伯拉罕·瓦尔德（Abraham Wald）与失踪的弹孔这个故事。
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【内容简介】
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拥有了数学工具，我们就可以把那些我们想当然的事情看得更透彻，从而做出正确的决策。
【作者简介】
乔丹?艾伦伯格（Jordan Ellenberg），美国威斯康星大学数学系教授。他在世界范围内发表他的关于数论研究的演讲，并于2013年在世界**的数学会议——数学联合会议上做主题演讲。他的文章主要发表在《连线》《纽约时报》《华盛顿邮报》《华尔街日报》《波士顿环球报》等媒体上，他还为《石板》杂志写作“Do the Math”专栏文章，十分受欢迎。
【目录】
引 言 数学知识什么时候能派上用场呢？//IX
**部分 线性
第1章 要不要学习瑞典模式？//003
“巫术”经济学与拉弗曲线//006
第2章 不是所有的线都是直线//013
穷竭法与圆的面积//013
微积分与牛顿//020
永远无法到达的冰激凌商店//022
第3章 到2048 年，人人都是胖子？//031
学生应该从数学课上学些什么？//036
关于肥胖问题的荒谬研究//039
第4章 触目惊心的数字游戏//043
抛硬币与法国警察的帽子//048
评判暴行的数学方法//054
第5章 比盘子还大的饼状图//057
第二部分 推理
第6章 圣经密码与股市预测//069
选股必涨的巴尔的摩股票经纪人//075
那些古老预言的真相//079
第7章 大西洋鲑鱼不会读心术//083
代数为什么那么难学？//085
推翻零假设//090
并不显著的显著性//096
篮球比赛中真的存在“手热效应”吗？ //100
第8章 美丽又神秘的随机性//109
关于素数的猜想//114
素数是不是随机数？//117
第9章 肠卜术与科学研究//121
赢家诅咒与文件柜问题//124
显著性检验是调查员，不是审判员//132
第10章 大数据与精准预测//139
脸谱网能预测出谁会成为恐怖分子吗？//142
心灵感应研究与贝叶斯推理//146
戴帽子的猫与学校里*不讲卫生的人//158
第三部分 期望值
第11章 中**大奖与期望值理论//167
期望值并不是我们所期望的价值//170
如何为终身年金保险定价？//171
这不是显而易见的事吗？//172
别玩强力球//172
麻省理工学院学生买**的故事//177
布封的硬币、缝衣针与面条问题//183
海洋与炸药//191
数学家与精神病人//191
想办法促使累积奖金向下分配//192
谁是*后的赢家？//195
第12章 效用理论、风险与不确定性 //201
帕斯卡的赌注与无穷多的快乐 //204
圣彼得堡悖论与期望效用理论//209
第13章 祝你下一张**中大奖！//219
平行线也可以相交//226
射影几何学与**中奖//231
信号与噪声//233
非理性行为为什么会存在？//249
第四部分 回归
第14章 我们为什么无法拒绝平庸？//255
“有望如何如何”与“本垒打大赛的诅咒”//262
霍林特与西克里斯特的论战//265
糠麸对肠道消化真的有帮助吗？//266
第15章 父母高，孩子不一定也高//269
数学的复杂与简单//278
谁偷走了世界名画《蒙娜丽莎》？//280
相关性、《欢乐颂》与数字压缩技术//282
寒冷的城市与炎热的城市//284
相关性与十维空间的探险之旅//288
不存在相关性不代表没有任何关系//297
第16章 因为患了肺癌你才吸烟的吗？//299
错误未必总是错的//305
相貌英俊的男性为什么不友善呢？//308
第五部分 存在
第17章 所谓民意，纯属子虚乌有//315
提高税收还是削减政府开支？//316
死刑是否应该被废除？//320
单身汉如何成为女性心仪的约会对象？//325
澳大利亚选举制度与美国选举制度，孰优孰劣？//331
“疯狂的绵羊”与悖论的较量//334
第18章 一个凭空创造出来的新奇世界//341
形式主义被自相矛盾的阴影笼罩//350
伟大的数学家并不都是天才 //357
政治的逻辑//360
人类的未来//362
结 语 如何做出正确的决策？//365
致 谢//381
【媒体评论】
一本精彩绝伦的书，艾伦伯格运用数学原则解决现实生活问题的能力，会让所有数学老师嫉妒不已。他将这些内容娓娓道来，就像在一家精致的餐厅里授课，任何一个门外汉读起来都不会有障碍。让本书充满智慧和乐趣的原因之一在于，作者谈论了各种各样的话题，从多头绒泡菌到《贝多芬第九交响曲》，其*终效果是一幅巨大的用数学知识拼合在一起的美丽图画。
——《华盛顿邮报》
本书可读性强，且充满幽默感，可以避免你掉入错误的陷阱，并认识到数学推理与我们的生活息息相关。正如艾伦伯格所说，数学知识“就像一双X光透视眼，可以帮助我们洞见在混沌和嘈杂的表象之下日常生活的隐性结构和秩序”。
——《华尔街日报》
诙谐，充满吸引力，而且读起来很有趣，本书可以帮你发掘出你的数学超能力。
——《科学美国人》
从刘易斯?卡罗尔到史蒂夫?斯托加茨，数学家们充分展示了数学的力量。现在，乔丹?艾伦伯格也加入了他们的队伍，在书中引领我们踏上了一段愉快的探索数学之美的旅程。
——《自然》
如果你在即将到来的8月份有一个假期，你又正在寻找一本能在假期里阅读并且对你有所启发的书籍，艾伦伯格的这本书**是你很难拒绝的选择。
——《彭博视点》
作者摒弃了复杂的专业术语，用现实世界中的逸事、基础的方程式和简单的图表，向我们展示即使*简单的数学知识也可以是一种有力的工具。
——《科克斯书评》
【免费在线读】
非理性行为为什么会存在？
到目前为止，我们已经不厌其烦地证明了一个结论：从奖金期望值的角度看，买**几乎在所有情况下都是错误的选择；即使在某些罕见的个案中，**的奖金期望值高于其售价，我们也必须非常小心，才能从**中尽可能多的获得期望效用。
这个结论让拥有数学思维的经济学家，很难解释**销售非常火爆的事实。200 多年前，这个事实也让亚当·斯密困惑不已。埃尔斯伯格研究的是人们针对未知概率或者无法预测的概率做决策的情况，而购买**并不包含在内，因为所有人都已经被告知**的中奖概率非常小。人们在做决策时往往会追求效用**化，这个原则是经济学家开展研究的基础，在为包括经营决策与爱情决策在内的所有行为建模时，给他们提供了有效的帮助。但是，这些行为并不包括弹力球游戏。就像毕达哥拉斯的门徒无法接受三角形的斜边长度是无理数一样，某些经济学家也无法接受弹力球游戏这种非理性的行为。弹力球游戏不适合他们的所有模型，但却是一种真实存在的事物。
经济学家比毕达哥拉斯的门徒更懂得变通。在有人告诉他们坏消息时，他们不会勃然大怒，把送信人扔进大海淹死，而是对模型做出修正，以适应这种现实。我们的老朋友米尔顿·弗里德曼与伦纳德·萨维奇给出的一个解释得到了普遍认可。他们认为，**玩家遵循的是一种不规则的效用曲线，该曲线表明人们在买**时考虑的是阶级地位，而不是数量多少。如果你是中产阶级，每周在**上投入5 美元并且没有中奖，那么这个决策会让你损失一点儿钱，但是不会改变你的阶级地位。而且，尽管你损失了一点儿钱，但是这个效用与零非常接近。不过，一旦中奖，就会让你步入一个新的社会阶层。我们可以使用“临终”模型来考虑这个问题：你都快要死了，如果因为买**而导致你临死时的钱变少了，你还会在乎吗？你可能一点儿都不在乎。如果中了弹力球游戏的大奖之后，你可以在35 岁退休，尽情享受生活，比如去圣卢卡斯海角潜水，那么你会为之心动吗？是的，你肯定非常向往它。
丹尼尔·卡尼曼（Daniel Kahnemann）与阿莫斯·特沃斯基在偏离经典理论的方向上走得更远。他们认为，一般来说，人们不仅仅是在丹尼尔·埃尔斯伯格把一只瓮放到他们面前时才会背弃效用曲线，而是在大多数情况下都会这样做。他们提出的“前景理论”（prospect theory）现在被视为行为经济学的基础理论，后来卡尼曼还因此获得了诺贝尔经济学奖。该理论的目的是，以尽可能逼真的模型展现人们实际的行为方式，而不是运用抽象的理性去推测他们应该采取的行为方式。卡尼曼– 特沃斯基理论认为，人们对小概率事件的重视程度，往往超过冯·诺依曼公理认为我们应当赋予它们的重视程度；因此，大奖的诱惑力会大于我们根据期望效用理论计算得出的结果。
但是，我们甚至根本不需要费力地开展理论研究，就可以给出一个*简单的解释：无论输赢，买**都可以给我们带来一些乐趣。与加勒比度假之旅或者参加通宵舞会的乐趣不同，这种乐趣也许只值一两美元吧。我们有理由不相信它（例如，玩家自己往往认为中奖的前景是他们买**的首要原因），但是它的确可以很好地解释人们买**的行为。
经济学家不是物理学家，效用与能量也不同。效用无法储存，相互作用的结果有可能使双方都获得更多的效用，这是乐观的自由市场论者的**观。**不是递减税，而是一个游戏。人们向政府支付一小笔钱，参与政府廉价提供的几分钟娱乐活动，政府也因此获得维持公立图书馆、街道照明所需要的资金。有贸易往来的两个国家在交易之后都会成为赢家，**也是一样的道理。
因此，如果你觉得弹力球游戏好玩，就尽管去玩吧，无须考虑数学问题！
……
【书摘与插画】
