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【推荐语】
这套被誉为“数学教育的”的著作，是伟大的数学教育家、哥廷根数学学派领袖的不朽经典，值得每一位数学教师精心研读。菲利克斯·克莱因是杰出的数学家、热忱的爱国者，具有非凡的科学洞见、天才的组织能力，中国尤其缺少这样的人物。
【作者】
菲利克斯·克莱因
（Felix Klein，1849—1925）：
德国杰出的数学家、数学史家和数学教育家，现代国际数学教育的奠基人，对数学研究和数学教育产生了巨大影响，在数学界享有崇高的声望。
克莱因早年在群论、复变函数论和非欧几何等领域取得了卓越的成就，1872年发表的埃尔朗根纲领是几何学划时代的贡献。他是哥廷根学派公认的领袖，将许多优秀人才吸引到哥廷根大学，创造了科学研究的辉煌，为推动德国现代化发挥了巨大的作用。
【内容】
《高观点下的初等数学》是具有世界影响的数学教育经典，由菲利克斯•克莱因根据自己在哥廷根大学为中学数学教师及学生开设的讲座所撰写，书中充满了他对数学教育的洞见，生动地展示了一流大师的风采。本书出版后被译成多种文字，影响至今不衰， 对我国数学教育工作者和数学研习者很有启发。
《高观点下的初等数学》共分为三卷——*卷“算术、代数、分析”，第二卷“几何”，第三卷“精确数学与近似数学”。
《高观点下的初等数学》共分为三卷——*卷“算术、代数、分析”，第二卷“几何”，第三卷“精确数学与近似数学”。
【目录】
卷：算术 代数 分析
博洽内容 独特风格
——《高观点下的初等数学》导读 吴大任
纪念克莱因
——介绍《高观点下的初等数学》 齐民友
版序
第三版序
英文版序
前言
部分 算术
章 自然数的运算
1.1 学校里数的概念的引入
1.2 运算的基本定律
1.3 整数运算的逻辑基础
第二章 数的概念的个扩张
2.1 负数
2.2 分数
2.3 无理数
第三章 关于整数的特殊性质
第四章 复数
4.1 通常的复数
4.2 高阶复数，特别是四元数
4.3 四元数的乘法——旋转和伸展
4.4 中学复数教学
附：关于数学的现代发展及一般结构
第二部分 代数
第五章 含实未知数的实方程
5.1 含一个参数的方程
5.2 含两个参数的方程
5.3 含3个参数λ，μ，ν的方程
第六章 复数域方程
6.1 代数基本定理
6.2 含一个复参数的方程
第三部分 分析
第七章 对数函数与指数函数
7.1 代数分析的系统讨论
7.2 理论的历史发展
7.3 中学里的对数理论
7.4 函数论的观点
第八章 角函数
8.1 角函数理论
8.2 三角函数表
8.3 角函数的应用
第九章 关于无穷小演算本身
9.1 无穷小演算中的一般考虑
9.2 泰勒定理
9.3 历史的与教育学上的考虑
附录
Ⅰ. 数e和π的超越性
Ⅱ. 集合论
第二卷：几何
版序
第三版序
英译者序
前言
第四部分 简单的几何形体
第十章 作为相对量的线段、面积与体积
第十一章 平面上的格拉斯曼行列式原理
第十二章 格拉斯曼空间原理
第十三章 直角坐标变换下的空间
第十四章 导出的位形
第五部分 几 何 变 换
第十五章 仿射变换
第十六章 射影变换
第十七章 高阶点变换
17.1 反演变换
17.2 某些较一般的映射射影
17.3 一般的可逆单值连续点变换
第十八章 空间元素改变而造成的变换
18.1对偶变换
18.2相切变换
18.3某些例子
第十九章虚数理论
第六部分 几何及其基础的系统讨论
第二十章 系统的讨论
20.1 几何结构概述
20.2 关于线性变换的不变量理论
20.3 不变量理论在几何学上的应用
20.4 凯莱原理和仿射几何及度量几何的系统化
第二十一章 几何学基础
21.1 侧重运动的平面几何体系
21.2 度量几何的另一种发展体系
——平行公理的作用
21.3 欧几里得的《几何原本》
第三卷：精确数学与近似数学
译者的话
版序
第二版序
第三版序
前言
第七部分 实变函数及其在直角坐标下的表示法
第二十二章 关于单个自变量x的阐释
22.1 经验准确度与抽象准确度，现代实数概念
22.2 精确数学与近似数学，纯粹几何中亦有此分野
22.3 直观与思维，从几何的不同方面说明
22.4 用关于点集的两个定理来阐明
第二十三章 实变量x的函数y=f(x)
23.1 函数的抽象确定和经验确定(函数带概念)
23.2 关于空间直观的引导作用
23.3 自然规律的准确度(附关于物质构成的题外话)
23.4 经验曲线的属性：连通性、方向、曲率
23.5 关于连续函数的柯西定义和经验曲线类似到什么程度
23.6 连续函数的可积性
23.7 关于值和小值的存在定理
23.8 4个广义导数
23.9 魏尔斯特拉斯不可微函数；它的形象概述
23.10 魏尔斯特拉斯函数的不可微性
23.11 “合理”函数
第二十四章 函数的近似表示
24.1 用合理函数近似表示经验曲线
24.2 用简单解析式近似表示合理函数
24.3 拉格朗日插值公式
24.4 泰勒定理和泰勒级数
24.5 用拉格朗日多项式近似表示积分和导函数
24.6 关于解析函数及其在阐释自然中的作用
24.7 用有穷三角级数插值法
第二十五章 进一步阐述函数的三角函数表示
25.1 经验函数表示中的误差估计
25.2 通过小二乘法所得的三角级数插值
25.3 调和分析仪
25.4 三角级数举例
25.5 切比雪夫关于插值法的工作
第二十六章 二元函数
26.1 连续性
26.2 偏导次序颠倒时2fxy≠2fyx的实例
26.3 用球函数级数近似表示球面上的函数
26.4 球函数在球面上的值分布
26.5 用有穷球函数级数作近似表示的误差估计
第八部分 平面曲线的自由几何
第二十七章 从精确理论观点讨论平面几何
27.1 关于点集的若干定理
27.2 对两个或多个不相交圆反演所产生的点集
27.3 极限点集的性质
27.4 二维连续统概念、一般曲线概念
27.5 覆盖整个正方形的皮亚诺曲线
27.6 较狭义的曲线概念：若尔当曲线
27.7 更狭义的曲线概念：正则曲线
27.8 用正则理想曲线近似表示直观曲线
27.9 理想曲线的可感知性
27.10 特殊理想曲线：解析曲线与代数曲线，代数曲线的格拉斯曼几何产生法
27.11 用理想图形表现经验图形：佩里观点
第二十八章 继续从精确理论观点讨论平面几何
28.1 对两个相切圆的相继反演
28.2 对3个循环相切圆的相继反演(“模图形”)
28.3 4个循环相切圆的标准情况
28.4 4个循环相切圆的一般情况
28.5 所得非解析曲线的性质
28.6 这整个论述的前提，韦罗内塞的进一步理想化
第二十九章 转入应用几何：A.测量学
29.1 一切实际度量的不准确性，斯涅尔问题的实践
29.2 通过多余的度量来确定准确度，小二乘法的原则阐述
29.3 近似计算，用关于球面小三角形的勒让德定理来说明
29.4 地球参考椭面上短线在测量学中的意义(附关于微分方程论的假设)
29.5 关于水准面及其实际测定
第三十章 续论应用几何：B．作图几何
30.1 关于作图几何中一种误差理论的假设，用帕斯卡定理的作图说明
30.2 由经验图形推导理想曲线性质的可能性
30.3 对代数曲线的应用，将要用到的关于代数的知识
30.4 提出所要证明的定理：w′ 2t″=n(n-2)223
30.5 证明中将采用的连续性方法
30.6 有与无二重点的Cn之间的转化
30.7 符合定理的偶次曲线举例
30.8 奇次曲线的例子
30.9 举例说明证明中的连续性方法，证明的完成
第九部分 用作图和模型表现理想图形
第三十一章 用作图和模型表现理想图形
31.1 无奇点空间曲线的形状，以C3为例(曲线的投影及其切线曲面的平面截线)
31.2 空间曲线的7种奇点
31.3 关于无奇点曲面形状的一般讨论
31.4 关于F3的二重点，特别是它的二切面重点和单切面重点
31.5 F3的形状概述
呼吁：通过观察自然，不断修订传统科学结论
译名对照表
译后记
博洽内容 独特风格
——《高观点下的初等数学》导读 吴大任
纪念克莱因
——介绍《高观点下的初等数学》 齐民友
版序
第三版序
英文版序
前言
部分 算术
章 自然数的运算
1.1 学校里数的概念的引入
1.2 运算的基本定律
1.3 整数运算的逻辑基础
第二章 数的概念的个扩张
2.1 负数
2.2 分数
2.3 无理数
第三章 关于整数的特殊性质
第四章 复数
4.1 通常的复数
4.2 高阶复数，特别是四元数
4.3 四元数的乘法——旋转和伸展
4.4 中学复数教学
附：关于数学的现代发展及一般结构
第二部分 代数
第五章 含实未知数的实方程
5.1 含一个参数的方程
5.2 含两个参数的方程
5.3 含3个参数λ，μ，ν的方程
第六章 复数域方程
6.1 代数基本定理
6.2 含一个复参数的方程
第三部分 分析
第七章 对数函数与指数函数
7.1 代数分析的系统讨论
7.2 理论的历史发展
7.3 中学里的对数理论
7.4 函数论的观点
第八章 角函数
8.1 角函数理论
8.2 三角函数表
8.3 角函数的应用
第九章 关于无穷小演算本身
9.1 无穷小演算中的一般考虑
9.2 泰勒定理
9.3 历史的与教育学上的考虑
附录
Ⅰ. 数e和π的超越性
Ⅱ. 集合论
第二卷：几何
版序
第三版序
英译者序
前言
第四部分 简单的几何形体
第十章 作为相对量的线段、面积与体积
第十一章 平面上的格拉斯曼行列式原理
第十二章 格拉斯曼空间原理
第十三章 直角坐标变换下的空间
第十四章 导出的位形
第五部分 几 何 变 换
第十五章 仿射变换
第十六章 射影变换
第十七章 高阶点变换
17.1 反演变换
17.2 某些较一般的映射射影
17.3 一般的可逆单值连续点变换
第十八章 空间元素改变而造成的变换
18.1对偶变换
18.2相切变换
18.3某些例子
第十九章虚数理论
第六部分 几何及其基础的系统讨论
第二十章 系统的讨论
20.1 几何结构概述
20.2 关于线性变换的不变量理论
20.3 不变量理论在几何学上的应用
20.4 凯莱原理和仿射几何及度量几何的系统化
第二十一章 几何学基础
21.1 侧重运动的平面几何体系
21.2 度量几何的另一种发展体系
——平行公理的作用
21.3 欧几里得的《几何原本》
第三卷：精确数学与近似数学
译者的话
版序
第二版序
第三版序
前言
第七部分 实变函数及其在直角坐标下的表示法
第二十二章 关于单个自变量x的阐释
22.1 经验准确度与抽象准确度，现代实数概念
22.2 精确数学与近似数学，纯粹几何中亦有此分野
22.3 直观与思维，从几何的不同方面说明
22.4 用关于点集的两个定理来阐明
第二十三章 实变量x的函数y=f(x)
23.1 函数的抽象确定和经验确定(函数带概念)
23.2 关于空间直观的引导作用
23.3 自然规律的准确度(附关于物质构成的题外话)
23.4 经验曲线的属性：连通性、方向、曲率
23.5 关于连续函数的柯西定义和经验曲线类似到什么程度
23.6 连续函数的可积性
23.7 关于值和小值的存在定理
23.8 4个广义导数
23.9 魏尔斯特拉斯不可微函数；它的形象概述
23.10 魏尔斯特拉斯函数的不可微性
23.11 “合理”函数
第二十四章 函数的近似表示
24.1 用合理函数近似表示经验曲线
24.2 用简单解析式近似表示合理函数
24.3 拉格朗日插值公式
24.4 泰勒定理和泰勒级数
24.5 用拉格朗日多项式近似表示积分和导函数
24.6 关于解析函数及其在阐释自然中的作用
24.7 用有穷三角级数插值法
第二十五章 进一步阐述函数的三角函数表示
25.1 经验函数表示中的误差估计
25.2 通过小二乘法所得的三角级数插值
25.3 调和分析仪
25.4 三角级数举例
25.5 切比雪夫关于插值法的工作
第二十六章 二元函数
26.1 连续性
26.2 偏导次序颠倒时2fxy≠2fyx的实例
26.3 用球函数级数近似表示球面上的函数
26.4 球函数在球面上的值分布
26.5 用有穷球函数级数作近似表示的误差估计
第八部分 平面曲线的自由几何
第二十七章 从精确理论观点讨论平面几何
27.1 关于点集的若干定理
27.2 对两个或多个不相交圆反演所产生的点集
27.3 极限点集的性质
27.4 二维连续统概念、一般曲线概念
27.5 覆盖整个正方形的皮亚诺曲线
27.6 较狭义的曲线概念：若尔当曲线
27.7 更狭义的曲线概念：正则曲线
27.8 用正则理想曲线近似表示直观曲线
27.9 理想曲线的可感知性
27.10 特殊理想曲线：解析曲线与代数曲线，代数曲线的格拉斯曼几何产生法
27.11 用理想图形表现经验图形：佩里观点
第二十八章 继续从精确理论观点讨论平面几何
28.1 对两个相切圆的相继反演
28.2 对3个循环相切圆的相继反演(“模图形”)
28.3 4个循环相切圆的标准情况
28.4 4个循环相切圆的一般情况
28.5 所得非解析曲线的性质
28.6 这整个论述的前提，韦罗内塞的进一步理想化
第二十九章 转入应用几何：A.测量学
29.1 一切实际度量的不准确性，斯涅尔问题的实践
29.2 通过多余的度量来确定准确度，小二乘法的原则阐述
29.3 近似计算，用关于球面小三角形的勒让德定理来说明
29.4 地球参考椭面上短线在测量学中的意义(附关于微分方程论的假设)
29.5 关于水准面及其实际测定
第三十章 续论应用几何：B．作图几何
30.1 关于作图几何中一种误差理论的假设，用帕斯卡定理的作图说明
30.2 由经验图形推导理想曲线性质的可能性
30.3 对代数曲线的应用，将要用到的关于代数的知识
30.4 提出所要证明的定理：w′ 2t″=n(n-2)223
30.5 证明中将采用的连续性方法
30.6 有与无二重点的Cn之间的转化
30.7 符合定理的偶次曲线举例
30.8 奇次曲线的例子
30.9 举例说明证明中的连续性方法，证明的完成
第九部分 用作图和模型表现理想图形
第三十一章 用作图和模型表现理想图形
31.1 无奇点空间曲线的形状，以C3为例(曲线的投影及其切线曲面的平面截线)
31.2 空间曲线的7种奇点
31.3 关于无奇点曲面形状的一般讨论
31.4 关于F3的二重点，特别是它的二切面重点和单切面重点
31.5 F3的形状概述
呼吁：通过观察自然，不断修订传统科学结论
译名对照表
译后记
【媒体评论】
克莱因声称本书是为中学教师和成熟的大学生写的，但按其内容，所有对数学有一定了解的人都可以从中获得教益和启发……我们热切希望我国高水平的数学多面手写出更结合我国实际的、现代化的《高观点下的初等数学》。这样一本书出版，将是我国数学教育史上的一件大事。
——南开大学 吴大任
读这本书，您会感到极有收获，而不得不心悦诚服，不得不承认克莱因是真正的大师。
——武汉大学 齐民友
作为当时的领袖数学家，菲利克斯·克莱因的许多观点至今仍然对数学家和数学教育工作者有所启迪。本书反映了他对数学教育的许多观点，被译为多种文字，影响至今不衰。
——中国科学院 胡作玄
这是一套无比珍贵的著作，可作为大学教师和中学教师的参考书。无论就材料安排的巧妙或就讨论方式的引人入胜来说，目前还没有一本书可以同这本书相比。
——加利福尼亚大学洛杉矶分校 E.R.赫德里克
加利福尼亚大学伯克利分校 C.A.诺布尔
