《普林斯顿微积分读本（修订版）》
对于大多数学生来说，微积分或许是他们曾经上过的倍感迷茫且很受挫折的一门课程了。本书不仅让学生们能有效地学习微积分，更重要的是提供了战胜微积分的可靠工具。
本书源于风靡美国普林斯顿大学的阿德里安·班纳教授的微积分复习课程，他激励了一些考试前想获得成功但考试结果却平平的学生。
作者班纳是美国普林斯顿大学的知名数学教授，并担任新技术研究中心主任。他的授课风格非正式、有吸引力并完全不强求，甚到在不失其详尽性的基础上又增添了许多娱乐性，而且他不会跳过讨论一个问题的任何步骤。
这本经典著作将易用性与可读性以及内容的深度与数学的严谨地结合在一起。对于每一个想要掌握微积分的学生来说，本书都是极好的资源。当然，非数学专业的学生也将大大受益。
《微积分入门 修订版》
菲尔兹奖、沃尔夫奖、日本文化勋章得主
日本数学大家 小平邦彦 微积分名著
明快、凝练的数学珍宝
流畅、易读的不朽名作
严密性与直观性结合的微积分新论
感受数学证明的“和谐”与“美感”
【内容简介】
《普林斯顿微积分读本（修订版）》
本书是作者多年来给普林斯顿大学本科一年级学生开设微积分的每周复习课。本书专注于讲述解题技巧，目的是帮助读者学习一元微积分的主要概念。深入处理一些基本内容，还复习一些主题。本书不仅可以作为参考书，也可以作为教材，定会成为任何一位需要微积分知识人学习一元微积分的非常好的指导书。
《微积分入门 修订版》
微积分入门 为日本数学家小平邦彦晚年创作的经典微积分著作，有别于一般的微积分教科书，本书突出“严密”与“直观”的结合，重视数学中的“和谐”与“美感”，讲解新颖别致、自成体系，论证清晰详尽、环环相扣，行文深入浅出、流畅易读，从原理、思想到方法、应用，处处体现了小平邦彦的深厚功力与广阔视野。作者着眼数学分析的深处，结合自身独到的思考与理解，从严谨的实数理论出发思谋微积分，通过巧妙引导，启发读者自主思考，提升对微积分的领悟理解程度。
本书是小平邦彦为后人留下的一份重要文化财富，不仅值得数学专业人士研读，对于需要微积分知识的其他理工科学生和专业人员也具有深刻启示。
【目录】
《普林斯顿微积分读本（修订版）》
第 1 章函数、图像和直线 1
1.1 函数 1
1.1.1 区间表示法 3
1.1.2 求定义域 3
1.1.3 利用图像求值域 4
1.1.4 垂线检验 5
1.2 反函数 6
1.2.1 水平线检验 7
1.2.2 求反函数 8
1.2.3 限制定义域 8
1.2.4 反函数的反函数 9
1.3 函数的复合 10
1.4 奇函数和偶函数 12
1.5 线性函数的图像 14
1.6 常见函数及其图像 16
第 2 章三角学回顾 21
2.1 基本知识 21
2.2 扩展三角函数定义域 23
2.2.1 ASTC 方法 25
2.2.2 [0, 2π] 以外的三角函数 27
2.3 三角函数的图像 29
2.4 三角恒等式 32
第3 章极限导论 34
3.1 极限：基本思想 34
3.2 左极限与右极限 36
3.3 何时不存在极限 37
3.4 在∞和-∞处的极限 38
3.5 关于渐近线的两个常见误解 41
3.6 三明治定理 43
3.7 极限的基本类型小结 45
第4 章求解多项式的极限问题 47
4.1 x → a 时的有理函数的极限 47
4.2 x → a 时的平方根的极限 50
4.3 x → ∞时的有理函数的极限 51
4.4 x → ∞时的多项式型函数的极限 56
4.5 x → -∞ 时的有理函数的极限 59
4.6 函数的极限 61
第5 章连续性和可导性 63
5.1 连续性 63
5.1.1 在一点处连续 63
5.1.2 在一个区间上连续 64
5.1.3 连续函数的一些例子 65
5.1.4 介值定理 67
5.1.5 一个更难的介值定理
例子 69
5.1.6 连续函数的**大值和
**小值 70
5.2 可导性 71
5.2.1 平均速率 72
5.2.2 位移和速度 72
5.2.3 瞬时速度 73
5.2.4 速度的图像阐释 74
5.2.5 切线 75
5.2.6 导函数 77
5.2.7 作为极限比的导数 78
5.2.8 线性函数的导数 80
5.2.9 二阶导数和更高阶导数 80
5.2.10 何时导数不存在 81
5.2.11 可导性和连续性 82
第6 章求解微分问题 84
6.1 使用定义求导 84
6.2 用更好的办法求导 87
6.2.1 函数的常数倍 88
6.2.2 函数和与函数差 88
6.2.3 通过乘积法则求积函数的导数 88
6.2.4 通过商法则求商函数的导数 90
6.2.5 通过链式求导法则求复合函数的导数 91
6.2.6 那个难以处理的例子 94
6.2.7 乘积法则和链式求导法则的理由 96
6.3 求切线方程 98
6.4 速度和加速度 99
6.5 导数伪装的极限 101
6.6 分段函数的导数 103
6.7 直接画出导函数的图像 106
第7 章三角函数的极限和导数 111
7.1 三角函数的极限 111
7.1.1 小数的情况 111
7.1.2 问题的求解——小数的情况 113
7.1.3 大数的情况 117
7.1.4 其他的" 情况 120
7.1.5 一个重要极限的证明 121
7.2 三角函数的导数 124
7.2.1 求三角函数导数的例子 127
7.2.2 简谐运动 128
7.2.3 一个有趣的函数 129
第8 章隐函数求导和相关变化率 132
8.1 隐函数求导 132
8.1.1 技巧和例子 133
8.1.2 隐函数求二阶导 137
8.2 相关变化率 138
8.2.1 一个简单的例子 139
8.2.2 一个稍难的例子 141
8.2.3 一个更难的例子 142
8.2.4 一个非常难的例子 144
第9 章指数函数和对数函数 148
9.1 基础知识 148
9.1.1 指数函数的回顾 148
9.1.2 对数函数的回顾 149
9.1.3 对数函数、指数函数及反函数 150
9.1.4 对数法则 151
9.2 e 的定义 153
9.2.1 一个有关复利的问题 153
9.2.2 问题的答案 154
9.2.3 更多关于e 和对数函数的内容 156
9.3 对数函数和指数函数求导 158
9.4 求解指数函数或对数函数的极限 161
9.4.1 涉及e 的定义的极限 161
9.4.2 指数函数在0 附近的行为 162
9.4.3 对数函数在1 附近的行为 164
9.4.4 指数函数在∞或-∞附近的行为 164
9.4.5 对数函数在∞附近的行为 167
9.4.6 对数函数在0 附近的行为 168
9.5 取对数求导法 169
9.6 指数增长和指数衰变 173
9.6.1 指数增长 174
9.6.2 指数衰变 176
9.7 双曲函数 178
第 10 章反函数和反三角函数 181
10.1 导数和反函数 181
10.1.1 使用导数证明反函数存在 181
10.1.2 导数和反函数：可能出现的问题 182
10.1.3 求反函数的导数 183
10.1.4 一个综合性例子 185
10.2 反三角函数 187
10.2.1 反正弦函数 187
10.2.2 反余弦函数 190
10.2.3 反正切函数 192
10.2.4 反正割函数 194
10.2.5 反余割函数和反余切函数 195
10.2.6 计算反三角函数 196
10.3 反双曲函数 199
第 11 章导数和图像 202
11.1 函数的极值 202
11.1.1 全局极值和局部极值 202
11.1.2 极值定理 203
11.1.3 求全局**大值和**小值 204
11.2 罗尔定理 206
11.3 中值定理 209
11.4 二阶导数和图像 212
11.5 对导数为零点的分类 215
11.5.1 使用一次导数 215
11.5.2 使用二阶导数 217
第 12 章绘制函数图像 219
12.1 建立符号表格 219
12.1.1 建立一阶导数的符号表格 221
12.1.2 建立二阶导数的符号表格 222
12.2 绘制函数图像的全面方法 224
12.3 例题 225
12.3.1 一个不使用导数的例子 225
12.3.2 完整的方法：例一 227
12.3.3 完整的方法：例二 229
12.3.4 完整的方法：例三 231
12.3.5 完整的方法：例四 234
第 13 章**优化和线性化 239
13.1 **优化 239
13.1.1 一个简单的**优化例子 239
13.1.2 **优化问题：一般方法 240
13.1.3 一个**优化的例子 241
13.1.4 另一个**优化的例子 242
13.1.5 在**优化问题中使用隐函数求导 246
13.1.6 一个较难的**优化例子 246
13.2 线性化 249
13.2.1 线性化问题：一般方法 251
13.2.2 微分 252
13.2.3 线性化的总结和例子 254
13.2.4 近似中的误差 256
13.3 牛顿法 258
第 14 章洛必达法则及极限问题总结 263
14.1 洛必达法则 263
14.1.1 类型A：0/0 263
14.1.2 类型A：±∞/±∞ 266
14.1.3 类型B1: (∞-∞) 267
14.1.4 类型B2: (0 x±∞) 269
14.1.5 类型C: 1±∞，00 或∞0 270
14.1.6 洛必达法则类型的总结 272
14.2 关于极限的总结 273
第 15 章积分 276
15.1 求和符号 276
15.1.1 一个有用的求和 279
15.1.2 伸缩求和法 280
15.2 位移和面积 283
15.2.1 三个简单的例子 283
15.2.2 一段更常规的旅行 285
15.2.3 有向面积 287
15.2.4 连续的速度 288
15.2.5 两个特别的估算 291
第 16 章定积分 293
16.1 基本思想 293
16.2 定积分的定义 297
16.3 定积分的性质 301
16.4 求面积 305
16.4.1 求通常的面积 306
16.4.2 求解两条曲线之间的面积 308
16.4.3 求曲线与y 轴所围成的面积 310
16.5 估算积分 313
16.6 积分的平均值和中值定理 316
16.7 不可积的函数 319
第 17 章微积分基本定理 321
17.1 用其他函数的积分来表示的函数 321
17.2 微积分的第 一基本定理 324
17.3 微积分的第 二基本定理 328
17.4 不定积分 329
17.5 怎样解决问题：微积分的第 一基本定理 331
17.5.1 变形1：变量是积分下限 332
17.5.2 变形2：积分上限是一个函数 332
17.5.3 变形3：积分上下限都为函数 334
17.5.4 变形4：极限伪装成导数 335
17.6 怎样解决问题：微积分的第 二基本定理 336
17.6.1 计算不定积分 336
17.6.2 计算定积分 339
17.6.3 面积和 341
17.7 技术要点 344
17.8 微积分第 一基本定理的证明 345
第 18 章积分的方法I 347
18.1 换元法 347
18.1.1 换元法和定积分 350
18.1.2 如何换元 353
18.1.3 换元法的理论解释 355
18.2 分部积分法 356
18.3 部分分式 361
18.3.1 部分分式的代数运算 361
18.3.2 对每一部分积分 365
18.3.3 方法和一个完整的例子 367
第 19 章积分的方法II 373
19.1 应用三角恒等式的积分 373
19.2 关于三角函数的幂的积分 376
19.2.1 sin 或cos 的幂 376
19.2.2 tan 的幂 378
19.2.3 sec 的幂 379
19.2.4 cot 的幂 381
19.2.5 csc 的幂 382
19.2.6 约化公式 382
19.3 关于三角换元法的积分 384
19.3.1 类型1：pa2 x2 384
19.3.2 类型2：px2 a2 386
19.3.3 类型3：px2 a2 387
19.3.4 配方和三角换元法 388
19.3.5 关于三角换元法的总结 389
19.3.6 平方根的方法和三角换元法 389
19.4 积分技巧总结 391
第 20 章反常积分：基本概念 393
20.1 收敛和发散 393
20.1.1 反常积分的一些例子 395
20.1.2 其他破裂点 397
20.2 关于无穷区间上的积分 398
20.3 比较判别法(理论) 400
20.4 极限比较判别法(理论) 402
20.4.1 函数互为渐近线 402
20.4.2 关于判别法的陈述 404
20.5 p 判别法(理论) 405
20.6 绝√收敛判别法 407
第 21 章反常积分：如何解题 410
21.1 如何开始 410
21.1.1 拆分积分 410
21.1.2 如何处理负函数值 411
21.2 积分判别法总结 413
21.3 常见函数在∞ 和-∞附近的表现 414
21.3.1 多项式和多项式型函数在∞ 和-∞ 附近的表现 415
21.3.2 三角函数在∞ 和-∞ 附近的表现 417
21.3.3 指数在∞和-∞附近的表现 419
21.3.4 对数在∞ 附近的表现 422
21.4 常见函数在0 附近的表现 426
21.4.1 多项式和多项式型函数在0 附近的表现 426
21.4.2 三角函数在0 附近的表现 427
21.4.3 指数函数在0 附近的表现 429
21.4.4 对数函数在0 附近的表现 430
21.4.5 更一般的函数在0 附近的表现 431
21.5 如何应对不在0 或1 处的瑕点 432
第 22 章数列和级数：基本概念 434
22.1 数列的收敛和发散 434
22.1.1 数列和函数的联系 435
22.1.2 两个重要数列 436
22.2 级数的收敛与发散 438
22.3 第n 项判别法(理论) 442
22.4 无穷级数和反常积分的性质 443
22.4.1 比较判别法(理论) 443
22.4.2 极限比较判别法(理论) 444
22.4.3 p 判别法(理论) 444
22.4.4 绝√收敛判别法 445
22.5 级数的新判别法 447
22.5.1 比式判别法(理论) 447
22.5.2 根式判别法(理论) 449
22.5.3 积分判别法(理论) 450
22.5.4 交错级数判别法(理论) 453
第 23 章求解级数问题 455
23.1 求几何级数的值 455
23.2 应用第n 项判别法 457
23.3 应用比式判别法 457
23.4 应用根式判别法 461
23.5 应用积分判别法 462
23.6 应用比较判别法、极限比较判别法和p 判别法 463
23.7 应对含负项的级数 468
第 24 章泰勒多项式、泰勒级数和幂级数导论 472
24.1 近似值和泰勒多项式 472
24.1.1 重访线性化 472
24.1.2 二次近似 473
24.1.3 高阶近似 474
24.1.4 泰勒定理 475
24.2 幂级数和泰勒级数 478
24.2.1 一般幂级数 479
24.2.2 泰勒级数和麦克劳林级数 481
24.2.3 泰勒级数的收敛性 481
24.3 一个有用的极限 485
第 25 章求解估算问题 487
25.1 泰勒多项式与泰勒级数总结 487
25.2 求泰勒多项式与泰勒级数 488
25.3 用误差项估算问题 491
25.3.1 第 一个例子 492
25.3.2 第 二个例子 494
25.3.3 第三个例子 495
25.3.4 第四个例子 496
25.3.5 第五个例子 497
25.3.6 误差项估算的一般方法 499
25.4 误差估算的另一种方法 499
第 26 章泰勒级数和幂级数：如何解题 502
26.1 幂级数的收敛性 502
26.1.1 收敛半径 502
26.1.2 求收敛半径和收敛区域 504
26.2 合成新的泰勒级数 508
26.2.1 代换和泰勒级数 509
26.2.2 泰勒级数求导 511
26.2.3 泰勒级数求积分 512
26.2.4 泰勒级数相加和相减 514
26.2.5 泰勒级数相乘 515
26.2.6 泰勒级数相除 516
26.3 利用幂级数和泰勒级数求导 517
26.4 利用麦克劳林级数求极限 519
第 27 章参数方程和极坐标 523
27.1 参数方程 523
27.2 极坐标 528
27.2.1 极坐标与笛卡儿坐标互换 529
27.2.2 极坐标系中画曲线 530
27.2.3 求极坐标曲线的切线 534
27.2.4 求极坐标曲线围成的面积 535
第 28 章复数 538
28.1 基础 538
28.2 复平面 541
28.3 复数的高次幂 544
28.4 解zn = w 545
28.5 解ez = w 550
28.6 一些三角级数 552
28.7 欧拉恒等式和幂级数 554
第 29 章体积、弧长和表面积 556
29.1 旋转体的体积 556
29.1.1 圆盘法 557
29.1.2 壳法 558
29.1.3 总结和变式 560
29.1.4 变式1：区域在曲线和y 轴之间 561
29.1.5 变式2：两曲线间的区域 562
29.1.6 变式3：绕平行于坐标轴的轴旋转 565
29.2 一般立体体积 567
29.3 弧长 571
29.4 旋转体的表面积 574
第30 章微分方程 578
30.1 微分方程导论 578
30.2 可分离变量的一阶微分方程 579
30.3 一阶线性方程 581
30.4 常系数微分方程 585
30.4.1 解一阶齐次方程 586
30.4.2 解二阶齐次方程 586
30.4.3 为什么特征二次方程适用 587
30.4.4 非齐次方程和特解 588
30.4.5 求特解 589
30.4.6 求特解的例子 590
30.4.7 解决yP 和yH 间的冲突 592
30.4.8 IVP 593
30.5 微分方程建模 595
附录A 极限及其证明 598
A.1 极限的正式定义 598
A.2 由原极限产生新极限 602
A.3 极限的其他情形 606
A.4 连续与极限 611
A.5 再谈指数函数和对数函数 616
A.6 微分与极限 618
A.7 泰勒近似定理的证明 627
附录B 估算积分 629
B.1 使用条纹估算积分 629
B.2 梯形法则 632
B.3 辛普森法则 634
B.4 近似的误差 636
符号列表 640
索引 643
《微积分入门 修订版》
第 1 章 实数 1
1.1 序. 1
1.2 实数 6
1.3 实数的加法与减法..12
1.4 数列的极限, 实数的乘法、除法.16
1.5 实数的性质27
1.6 平面上点的集合..43
习题.60
第 2 章 函数..61
2.1 函数..61
2.2 连续函数.65
2.3 指数函数和对数函数.72
2.4 三角函数.77
习题.88
第3 章 微分法则89
3.1 微分系数和导函数..89
3.2 微分法则.93
3.3 导函数的性质. 100
3.4 高阶微分.. 106
习题.. 127
第4 章 积分法.. 128
4.1 定积分 128
4.2 原函数和不定积分 137
4.3 广义积分.. 148
4.4 积分变量的变换 164
习题.. 171
第5 章 无穷级数. 173
5.1 *收敛与条件收敛.. 173
5.2 收敛的判别法.179
5.3 一致收敛..188
5.4 无穷级数的微分和积分..195
5.5 幂级数203
5.6 无穷乘积..217
习题..223
第6 章 多元函数224
6.1 二元函数..224
6.2 微分法则..233
6.3 极限的顺序.260
6.4 n 元函数273
习题..279
第7 章 积分法则(多元) 280
7.1 积分280
7.2 广义积分..292
7.3 积分变量的变换316
习题..349
第8 章 积分法则(续) .350
8.1 隐函数350
8.2 n 元函数的积分.357
8.3 积分变量的变换378
习题..399
第9 章 曲线和曲面..400
9.1 曲线400
9.2 曲面的面积..411
习题..428
附录.429
解答,提示432
索引.452
