【内容简介】
认识数学1
本书是《认识数学》系列数学科普书的卷，由10篇文章组成，作者均是中国科学院数学院系统科学研究院的科研人员。内容包括黎曼猜想——引无数英雄竞折腰，三角往事，凭声音能听出鼓的形状吗，三体问题——天体运行的数学一瞥，图论就在我们身边，孤立子背后的数学，真的吗？如何检验？群体运动中的数学问题，剑桥分析学派，数学的意义。文章选题的主要考虑因素是有趣、深刻和重要，写作力求引人入胜。
认识数学2
本书是《认识数学》系列数学科普书的第二卷，由9篇文章组成，作者均是中国科学院数学与系统科学研究院的科研人员。文章的标题有费马大定理——一个历史的传奇，朗兰兹纲领简介，速降线问题，生活中的电磁和数学，短距离中的一些数学问题，醉汉凌乱的脚步是否能把他带回家？自己能抗干扰的控制方法，莫斯科数学学派，基础数学的一些过去和现状。文章选题的主要考虑因素是有趣、深刻和重要，写作力求引人入胜。
认识数学3
本书是《认识数学》系列数学科普书的第三卷，由8篇文章组成，前7篇文章的作者均是中国科学院数学与系统科学研究院的科研人员，后一篇文章是翻译文章。文章的标题包括悖论、逻辑和不完全性定理，流体的奥秘——流体力学方程，寻找，压缩感知的数学原理，辗转相除法——算法的祖先，熵助我们理解混乱与无序，密码与数学，数学史：为什么，怎么看。文章选题的主要考虑因素是有趣、深刻和重要，原创文章写作力图引人入胜，译文力图信达雅。
【目录】
认识数学1 目录
序
1 黎曼猜想——引无数英雄竞折腰 席南华
1.1 素数 1
1.2 欧拉对素数有无穷多个的证明 3
1.3 高斯和勒让德关于素数分布的猜想 8
1.4 黎曼zeta函数 10
1.5 黎曼zeta函数的零点的研究 14
1.5.1 非平凡零点的实部在0和1之间 14
1.5.2 黎曼-曼戈尔特公式 15
1.5.3 数值计算 16
1.5.4 理论研究 20
1.5.5 零点的分布规律 22
1.6 黎曼猜想的一些等价形式 24
1.7 黎曼猜想的影响 26
1.7.1 狄利克雷L函数 26
1.7.2 更一般的L函数 27
1.7.3 韦伊猜想 28
参考文献 28
2 三角往事 周正一
2.1 欧氏几何和三角形内角和 35
2.2 什么是直线？ 38
2.3 非欧几何学 39
2.4 内蕴和外嵌——披萨饼的几何学 43
2.5 三角形内角和、曲率和拓扑 49
2.6 结束语——既是量子世界，也是星辰大海 52
参考文献 54
3 凭声音能听出鼓的形状吗 刘晓东 张波
3.1 振动弦 55
3.2 振动膜 63
3.3 听音辨鼓 65
参考文献 70
4 三体问题——天体运行的数学一瞥 张建路
4.1 引言 72
4.2 自然法则的数学语言 73
4.3 三体问题——瑞典国王奥斯卡二世的一个悬赏问题 77
4.4 轨道的分类 83
4.5 KAM：星系的稳定性 85
4.6 变分法与对称轨道 88
4.7 回溯：时代的伟大与新挑战 91
参考文献 93
5 图论就在我们身边 陈旭瑾
5.1 哥尼斯堡七桥问题：能找到理想的游历路线吗？ 96
5.2 拉姆齐数：聚会中有多少人彼此（不）相识？ 99
5.3 平面图：令人满意的土地划分方案存在吗？ 105
5.4 四色问题：地图染色用四种颜色够了吗？ 112
5.5 握手引理：与奇数个人握过手的人数一定是偶数吗？ 116
5.6 树图：有效连通（访问）网络的方式有哪些？ 120
5.7 哈密顿圈：环游世界的路线存在吗？ 125
5.8 图论优化：如何在图中快速寻优？ 129
5.9 结束语 142
参考文献 143
6 孤立子背后的数学 常向科 胡星标
6.1 Russell与孤立波的故事 145
6.2 Korteweg-de Vries方程 148
6.3 Fermi-Pasta-Ulam问题与孤立子 151
6.4 反散射方法 155
6.5 孤立子与可积系统及其应用 158
6.6 结束语 161
参考文献 162
7 真的吗？如何检验？ 何煦 李辉
7.1 从女士品茶引发的检验说起 166
7.2 能用星座预测诺贝尔文学奖吗？ 168
7.3 假设检验的基本思想和方法 171
7.3.1 建立原始假设和备选假设 171
7.3.2 两类错误 171
7.3.3 显著性水平 172
7.3.4 选取或构造检验统计量 173
7.3.5 利用p值进行决策 175
7.4 假设检验的小历史 176
7.5 成也p值，败也p值 177
7.5.1 舍弃原始假设的含义 178
7.5.2 保留原始假设的含义 179
7.5.3 相关性与因果性 180
7.5.4 多重检验陷阱 183
7.5.5 结束语 185
参考文献 186
8 群体运动中的数学问题 陈鸽
8.1 Boid模型介绍 190
8.2 Vicsek模型介绍 195
8.3 真实鸟群的建模 202
8.4 结束语 205
参考文献 207
9 剑桥分析学派 李文林
9.1 19世纪初的英国数学 209
9.2 分析学会 213
9.3 数学物理学派——从格林到麦克斯韦 216
9.3.1 乔治.格林 216
9.3.2 汤姆孙和斯托克斯 220
9.3.3 克拉克.麦克斯韦 223
9.3.4 结束语 226
参考文献 228
10 数学的意义 席南华
10.1 遥远的过去，数学是什么样子 229
10.2 数（shǔ）数（shù） 234
10.3 认识无限 236
10.4 一些观点 237
10.5 探索世界的精灵 242
10.6 数学的智慧 243
10.7 数学的美 246
10.8 数学家 254
认识数学2
目录
序
1费马大定理——一个历史的传奇王崧
1.1简介1
1.2费马大定理的经典时代6
1.2.1费马的无穷递降法6
1.2.2欧拉、热耳曼9
1.2.3库默尔的理想数10
1.320世纪的新路线图15
1.3.1椭圆曲线15
1.3.2法尔廷斯18
1.3.3弗雷和里贝特19
1.3.4怀尔斯20
1.4怀尔斯的证明22
1.5延伸——朗兰兹纲领23
1.6附录:n=3情形25
参考文献36
2朗兰兹纲领简介胡永泉
2.1二次互反律及类域论37
2.1.1二次互反律37
2.1.2多项式的模p分解43
2.1.3类域论46
2.2L-函数48
2.2.1阿廷L-函数49
2.2.2哈塞-韦伊L-函数50
2.2.3自守L-函数51
2.2.4小结51
2.3朗兰兹纲领52
2.3.1朗兰兹L-函数53
2.3.2朗兰兹函子性猜想54
2.3.3朗兰兹的其他工作55
2.3.4应用:费马大定理56
2.4朗兰兹纲领的现状及拓展57
2.4.1现状57
2.4.2拓展58
参考文献59
3速降线问题张志涛
3.1速降线——300多年前的一个数学公开挑战问题61
3.2影响67
3.3花絮:伯努利家族68
3.4旋轮线与摆钟71
3.5速降线证明中的变分方法74
3.6速降线理论的应用79
参考文献81
4生活中的电磁和数学郑伟英崔涛
4.1电磁场与电流83
4.2麦克斯韦的统一电磁场理论87
4.3电磁涡流问题94
4.4电磁波散射问题99
4.5静电场问题103
4.6结束语106
参考文献106
5短距离中的一些数学问题胡晓东
5.1费马-托里拆利问题110
5.2四点短网络问题114
5.3多点短网络问题116
5.4斯坦纳树问题122
5.5斯坦纳比问题124
5.6斯坦纳树问题的近似算法126
5.7斯坦纳树问题的应用与拓展128
5.8小结132
参考文献133
6醉汉凌乱的脚步是否能把他带回家？何凯
6.1一维随机游走136
6.2二维随机游走156
6.3高维随机游走158
6.4马尔可夫过程161
6.5布朗运动166
6.6莱维飞行169
6.7更多展望172
参考文献174
7自己能抗干扰的控制方法薛文超
7.1飞机在飞行中迎角控制的配平问题176
7.1.1问题的描述176
7.1.2理想的飞行器迎角控制律177
7.1.3传统方法:依靠离线实验建立干扰力矩模型178
7.1.4自己能抗干扰的控制:在线估计干扰力矩实时值179
7.1.5仿真结果展示181
7.1.6扩张状态观测器的典型理论结果181
7.2飞机迎角控制的速跟踪问题183
7.2.1问题的提出183
7.2.2速控制输入设计184
7.2.3仿真结果展示186
7.2.4利用速控制输入设计构造速跟踪微分器187
7.3从数学之美与工程之用理解自抗扰控制188
参考文献190
8莫斯科数学学派李文林
8.1旧俄数学背景192
8.2莫斯科学派的创建194
8.3莫斯科学派的发展196
8.4历史的注记205
参考文献212
9基础数学的一些过去和现状席南华
9.1数学理论的起始215
9.2数和多项式方程及相关的数学分支215
9.2.1素数215
9.2.2L函数和朗兰兹纲领217
9.2.3一元高次方程和群论218
9.2.4不定方程和数论220
9.2.5多项式方程和代数几何221
9.2.6群和李代数的表示理论223
9.2.7计数、集合论和数理逻辑225
9.3形与几何、拓扑226
9.4切线、面积、速度、加速度等和微积分、分析数学229
9.5数学物理232
参考文献234
认识数学3
目录
序
1悖论、逻辑与不完全性定理吴刘臻
1.1初识悖论2
1.1.1白马非马2
1.1.2理查德悖论2
1.1.3芝诺悖论3
1.1.4罗素悖论3
1.2关于悖论的一些思考4
1.2.1准确地描述事物5
1.2.2排除错误的假设5
1.2.3进行严格的推理6
1.3粗谈逻辑6
1.3.1语言——事物的准确描述7
1.3.2推理演绎系统——进行严格的推理8
1.4希尔伯特纲领——完美的数学世界10
1.5独立性——数学世界的不可确定性11
1.6无穷——数学基础的后一块拼图12
1.7结束语14
参考文献14
2流体的奥秘——流体力学方程黄祥娣
2.1伯努利定理17
2.2欧拉的流体运动方程21
2.3纳维–斯托克斯方程23
2.4纳维–斯托克斯方程的数学研究26
2.5流体力学方程的意义和影响28
参考文献31
3寻找袁亚湘刘歆
3.1速下降法36
3.2共轭梯度法38
3.3信赖域思想与牛顿方法40
3.4Lagrange与约束优化44
3.5线性规划与内点方法45
3.6流形优化48
推荐阅读文献50
4压缩感知的数学原理许志强
4.1图像的数字化54
4.2图像的稀疏性55
4.3傅里叶其人和傅里叶变换56
4.4稀疏能让我们少劳而获60
4.4.1一个简单例子60
4.4.2至少需要多少个观测64
4.5画饼能充饥吗?66
4.6从0到1的跳跃68
4.6.1同一个例子69
4.6.2前景与背景69
4.6.3如何做一块幕布71
4.7随机的威力72
4.8再看一个例子74
4.9一点补充75
参考文献76
5辗转相除法——算法的祖先陈绍示
5.1辗转相除法77
5.2多项式的公因子80
5.3高斯整数82
5.4单位根与平方根84
5.5结束语85
参考文献86
6熵助我们理解混乱与无序李向东
6.1热力学中的熵88
6.2熵的统计物理解释92
6.3熵与概率论101
6.4熵与随机矩阵109
6.5熵与信息113
6.5.1奈奎斯特与哈特莱的工作114
6.5.2香农:信息量=熵114
6.5.3香农信源编码定理118
6.5.4香农信道容量定理120
6.5.5量子信息论122
6.5.6维纳对信息论的贡献123
6.6麦克斯韦妖与信息热力学127
6.6.1麦克斯韦妖127
6.6.2西拉德论麦克斯韦妖128
6.6.3维纳对麦克斯韦妖的论述130
6.6.4本文作者对麦克斯韦妖的个人见解132
6.6.5布里渊的负熵原理134
6.6.6朗道尔原理135
6.7熵与生命136
6.7.1生命是什么？136
6.7.2熵与DNA138
6.7.3突变对熵的影响141
6.7.4基因突变与量子隧道效应142
6.8熵与几何143
6.9后记148
参考文献150
7密码与数学冯秀涛徐圣源
7.1古典密码的一些经典事例155
7.2密码学161
7.3对称密码164
7.4公钥密码167
7.5Hash算法173
7.6零知识证明175
7.7结束语177
参考文献178
8数学史:为什么,怎么看 安德烈·韦伊
【前言】
认识数学1 席南华著认识数学2 席南华著认识数学3 席南华著
【免费在线读】
1黎曼猜想—引无—数英雄竞折腰
席南华
如果要问一个数学家,在数学里面哪个问题有名,很可能你会听到的答案是:黎曼猜想.黎曼猜想有时称为黎曼假设,它是关于一个称为黎曼zeta函数的零点的断言.
所谓函数的零点,就是让函数取值为0的点,用方程的语言说就是这个函数的根,含义类似于多项式的根,如的零点就是x2.1=0的根1和.1;正弦函数sinx的零点就是,因为.要说清楚这个猜想和它的重要性,我们需要从整数中的素数说起.
1.1素数
经常遇到要把一群人平均分为若干组,若干数量的物品平均分配等这类事情.有时候这样的事情很容易做到,比如99个人平均分成9组;有时候这样的事情并不容易做到,比如8个苹果平均分给3个人.你很快就识别出这里问题的本质为一个数是否为另一个数的（整）倍数.现在你可能会想到我们每天的时间分成24小时,每小时分成60分钟是很智慧的设计:12小时是半天,6小时是四分之一天,30分钟是半小时,15分钟是一刻钟等.如果每天的时间分成23小时,每小时分成59分钟,那会带来很多的不便,极大增加日常生活和工作的复杂度.
在正整数里面,每个数当然是1的倍数,也是自身的倍数,常常还是一些其他数的倍数,比如刚才说到的99还是9和11的倍数,8还是2和4的倍数.但是也有很多的正整数,除了1和自身以外,不是任何其他正整数的倍数,如2,3,5,7,11,13,….这类数称为素数,也称为质数,它们不能写成两个更小的正整数的乘积,从而构成整数乘法的基本单元,这是说:每个大于1的正整数都能写成素数的乘积,而且这个写法本质上是的（即利用乘法交换性,可以把一个写法变到另一个写法,如2×3和3×2本质上是一样的）.
这个结论看上去极其简单,但却十分重要,被称为算术基本定理.它也说明素数在整数乘法中的角色类似于原子在物质世界的角色.素数的内涵是极其丰富的,甚至可以说是广袤又深不可测.很多小学生都能理解的问题到现在都无法证明或回答,如
哥德巴赫猜想:每个大于2的偶数都是两个素数的和.
孪生素数猜想:存在无穷多的素数,它们加上2之后还是素数.
素数的个数:给了一个正数x,在1和x之间有多少个素数？
对哥德巴赫猜想,我们可以试一些偶数,易见6=3 3,20=13 7,100=3 97=41 59,….到目前为止,关于哥德巴赫猜想著名的工作是陈景润1966年证明的结果:每个充分大的偶数是1个素数加上素因子个数不超过2的正整数,俗称“1 2”.关于素因子的个数,我们用例子说一下,素数的素因子个数是1,6=2×3的素因子个数为2,12=2×2×3的素因子个数为3.
对于孪生素数,我们有一些例子,如3,5,11,17,29,41等加2之后还是素数.刚开始很容易找到这样的素数,后面就越来越少了.2013年1黎曼猜想——引无数英雄竞折腰华裔数学家张益唐在孪生素数猜想上取得突破,他证明了存在无穷多个素数,它们中的每一个加上某个比7000万小的数是素数.
对于找出在1和x之间的素数个数,到现在为止,没有一个可用的公式.不过沿着这条路的探索却是成果丰硕,一些伟大的数学家在这里都做出让人惊叹的贡献.首先,我们知道素数有无穷多个.在欧几里得的《几何原本》中有一个优美的证明:
如果我们已经有素数p1,p2,p3,…,pn,考虑它们的乘积加1
很明显,p1,p2,p3, …,pn都不整除这个数,所以这个数的素因子都有别于前面的n个素数,于是我们得到一个新的素数pn 1.继续这个过程,我们就能得到无穷多个素数.比如,从2开始,2 1=3是素数;2×3 1=7是素数;2×3×7 1=43是素数;2×3×7×43 1=13×139,这里的素因子13和139和前面的2,3,7,43是不一样的素数…….
往事越千年,素数有无穷多个的结论是那么清晰,欧几里得的证明是那么得优美,很容易让人觉得这件事情没有进一步研究的价值,以致在后面两千多年的时间里人类在素数个数的认识上陷入停滞.原因是多方面的,其中一个重要的原因是进一步认识素数还需要更多的数学工具和理论,包括微积分、无穷级数、无穷乘积、复分析等.
时间到了18世纪,伟大的数学家欧拉（L.Euler）登场了.
1.2欧拉对素数有无穷多个的证明
欧拉从前面说过的算术基本定理出发,对素数有无穷多个给了另一个证明.我们很快就会看到,这个证明开启了一扇大门,影响是深远的.欧拉的证明用到等比数列的求和.对一个非零数x,下面的数列是一个等比数列（后一项和前一项的比都是一样的）:
它的前n项的求和记作Sn.如果x.=1,就有
（1）
上式的第二个等式可以推导如下:
所以,两边除以,得.
如果x的值|x|小于1,那么当n很大时,xn的值就会很小,比如0.99910000<0.00005.容易理解,如果x的值小于1,当n越来越大时,xn就会越来越接近0,从而Sn=1 x x2 … xn.1=1.xn1.x越来越接近.在数学上,我们是这样说刚才的现象:如果x的值|x|小于1,等比数列1,x,x2, …,xn, …的全部项加起来得到的无穷和1 x x2 … xn.1 …收敛到
（2）
如果p是素数,那么,根据上式,我们有
（3）
现在回到欧拉的证明.如果素数只有有限个,记作p1,p2,p3, …,pk.根据算术基本定理,每个正整数就能写成这些素数的乘积pa1其中a1,a2, …,ak都是非负整数.要得到更多的信息,我们尝试把所有的正整数加起来.
这里我们用记号P表示连加,连加的范围由指标m和ai的取值范围确定.不过上式不能给我们带来什么有用的信息,因为等式中的求和结果都是无穷大.
换一个想法,考虑倒数的求和,则得到
很明显,上面的式子中后一个等式的右边是一个有理数.如果能够说明上式个等式的左边的无限求和的值是无穷大,我们就得到矛盾了,从而说明原来的假设只有有限个素数是不成立的.
我们先注意到如下事实:对任意的正整数j,有
于是,前2j 1=2j 2j个正整数的倒数和为
当j越来越大时,会变得越来越大.可见所有的正整数的倒数和是无穷大.我们写下这个结论:
（4）
欧拉证明素数有无穷多个的方法看上去比欧几里得的方法要复杂得多,但是欧拉的方法的巨大价值在于把无穷级数等微积分的工具用于研究素数,富有启示,开辟了一个辽阔的研究疆域.
我们继续看欧拉用他的思想方法给我们带来了什么.仍利用算术基本定理,以一个固定的数s为指数,考虑正整数幂的倒数和,和前面s=1的情况类似,得到
（5）
注意我们用符号Q表示连乘,连乘的范围由指标的范围确定.上式右端的乘积称为欧拉乘积.
