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第一届全国大学生数学竞赛初赛(数学类,2009年)
试 题
一(15分) 求经过三平行直线L1:x=y=z,L2:x-1=y=z+1,L3:x=y+1=z-1
的圆柱面的方程。
二(20分) 设Cn×n 是n×n 复矩阵全体在通常的运算下所构成的复数域C上的线性空
间,
F=
0 0 … 0 -an
1 0 … 0 -an-1
0 1 … 0 -an-2
. . . .
0 0 … 1 -a1
.
è
......
.
.
÷÷÷÷÷÷
。
(1)假设A=
a11 a12 … a1n
a21 a22 … a2n
. . .
an1 an2 … ann
.
è
.....
.
.
÷÷÷÷÷
,若AF=FA,证明:
A=an1Fn-1+an-1,1Fn-2+…+a21F+a11E;
(2)求Cn×n 的子空间C(F)={X∈Cn×n|FX=XF}的维数。
三(15分) 假设V 是复数域C上的n 维线性空间(n>0),f,g 是V 上的线性变换,如
果fg-gf=f,证明:f 的特征值都是0,且f,g 有公共特征向量。
四(10分) 设{fn(x)}是定义在[a,b]上的无穷次可微的函数序列且逐点收敛,并在
[a,b]上满足|f'n(x)|≤M 。
(1)证明{fn(x)}在[a,b]上一致收敛;
(2)设f(x)=lim n→∞
fn(x),问f(x)是否一定在[a,b]上处处可导,为什么?
五(10分) 设an =∫π
2 0
t sinnt
sint
3dt,证明Σ∞
n=1
1 an
发散。
六(15分) 设f(x,y)是{(x,y)|x2+y2≤1}上的二次连续可微函数,满足
.2f
.x2+.2f
.y2=x2y2,
计算积分I = . x2+y2≤1
x
x2 +y2
.f
.x + y
x2 +y2
.f
.y
.
è .
.
. ÷
dxdy。
七(15分) 假设函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内二阶可导,过点A (0,f(0)),与
点B(1,f(1))的直线与曲线y=f(x)相交于点C(c,f(c)),其中0<1。证明:在(0,1)
内至少存在一点ξ,使f″(ξ)=0。
参考解答
一 先求圆柱面的轴L0 的方程。由已知条件易知,圆柱面母线的方向是n=(1,1,1),
且圆柱面经过点O(0,0,0),过点O(0,0,0)且垂直于n=(1,1,1)的平面π 的方程为:x+
y+z=0。π 与三已知直线的交点分别为
O(0,0,0),P(1,0,-1),Q(0,-1,1)。
圆柱面的轴L0 是到这三点等距离的点的轨迹,有
x2+y2+z2=(x-1)2+y2+(z+1)2,
x2+y2+z2=x2+(y+1)2+(z-1){ 2,
即
x-z=1,
{y-z=-1。将L0 的方程改为标准方程x-1=y+1=z。圆柱面的半径即为平行直线
x=y=z 和x-1=y+1=z 间的距离。P0(1,-1,0)为L0 上的点。对圆柱面上任意一点
S(x,y,z),有|n×P0S→|
|n| =|n×P0O→|
|n| ,即 (-y+z-1)2+(x-z-1)2+(-x+y+2)2=6,
所以,所求圆柱面的方程为
x2+y2+z2-xy-xz-yz-3x+3y=0。
二 证法1 (1)记
A=(α1,α2,…,αn),M =an1Fn-1+an-1,1Fn-2+…+a21F+a11E,则MF=FM 。
要证明M =A,只需证明A 与M 的各个列向量对应相等即可。若以ei记第i 个基本单位列
向量。于是,只需证明:对每个i,Mei=Aei(=αi)。
记β=(-an ,-an-1,…,-a1)T,则F=(e2,e3,…,en ,β)。注意到
Fe1 =e2,F2e1 =Fe2 =e3,…,Fn-1e1 =F(Fn-2e1)=Fen-1 =en 。(*)
由
Me1 =(an1Fn-1 +an-1,1Fn-2 + … +a21F +a11E)e1
=an1Fn-1e1 +an-1,1Fn-2e1 + … +a21Fe1 +a11Ee1
=an1en +an-1,1en-1 + … +a21e2 +a11e1
=α1 =Ae1,
知Me2 =MFe1 =FMe1 =FAe1 =AFe1 =Ae2,
Me3 =MF2e1 =F2Me1 =F2Ae1 =AF2e1 =Ae3,…
Men =MFn-1e1 =Fn-1Me1 =Fn-1Ae1 =AFn-1e1 =Aen 。
所以,M =A。
(2)由(1)可知,C(F)=span{E,F,F2,…,Fn-1}。
设x0E+x1F+x2F2+…+xn-1Fn-1=0,等式两边同时右乘e1,利用(*)式得
0=0e1 =(x0E +x1F +x2F2 + … +xn-1Fn-1)e1
=x0Ee1 +x1Fe1 +x2F2e1 + … +xn-1Fn-1e1
=x0e1 +x1e2 +x2e3 + … +xn-1en 。
第一届全国大学生数学竞赛初赛(数学类,2009年) 3
第一部分初赛试题及参考解答
因e1,e2,…,线性无关,故
en
x0=x1=x2=…=xn-1=0,
所以,E,F,F2,…,Fn-1线性无关。
因此,E,F,F2,…,Fn-1是C(F)的基,故,dimC(F)=。
证法
2
(1)令V=Cn
,对i=1,2,…,n,记εi 为第i 个(n) 分量为1,其余分量为0的单
位向量,则ε1,εn
ε2,…,为
V
的一组基
。
设
F
为线性变换
σ
在基ε1,ε2,…,下的矩阵,
即
εn
σ(ε2,…,
n
)ε1,εn
F。
ε1,ε=(ε2,…,)
故σ(=σ(=ε3,…,ε)=-na1a1n
。
ε1)ε2,ε2)σ(naε1-n-ε2-…-
ε
设
ψ
为与
σ
交换的线性变换,即σψ=ψσ。
令
ψ(=ε1+b2nn ,
ε1)b1ε2+
…+bε
则
ψ(ε1))σ(ε1))b1σ(nn-ε)
。
类似地
