第1章 绪论
1.1 欠驱动系统介绍
欠驱动系统[1]是一类常见的机电系统，在生产生活中均有着广泛的应用。和全驱动（fully-actuated）系统相比，欠驱动系统一般具有结构简单、成本低廉、自由度高等优势，但同时，由于系统的欠驱动特，其控制难度一般远高于全驱动系统，是当前控制领域研究的主要热点之一。简单来说，如果一个系统的控制输入维度少于其系统自由度维数，则该系统即为欠驱动系统。在实际工程中广泛应用的许多机电系统都是标准的欠驱动系统，除人造机器外，大自然中绝大多数生物在运动时也是欠驱动的，如在空中飞的鸟，在水中游的鱼。一个更加直观的例子是人的手指，通过一根筋来控制三个关节的运动。以下，我们给出欠驱动系统的严格数学定义。
定义1.1 （欠驱动系统）[1]考虑如下系统：
（1.1）
式中， 表示相互独立的广义坐标状态向量； 为表征系统动态的向量场（vector field）； 表示广义速度向量； 为输入矩阵； 则代表广义力向量。 的维数定义为系统（1.1）的自由度。若 ，则称系统（1.1）为欠驱动系统。
体来说，导致系统欠驱动的原因主要有以下几点：①系统受制于非完整约束，本质为欠驱动[2]，如移动机器人[3]、非完整移动操作臂[4， 5]、船舶等[6]；②全驱动系统的部分执行器出现故障，退化为欠驱动系统[7]；③为节约成本、降低结构复杂度或减轻重量，而省去部分执行机构[8]，如各类吊车系统[9]；④为研究现实中一些复杂的运动，如人的直立行走、体操运动员的动作等，同时也为了测试并验证的非线控制理论，而开发的基准（benchmark）系统，如各种倒立摆[10-12]、球杆系统[13-15]、平面机械臂与无驱动弹簧-振子碰撞系统[16， 17]等；⑤根据仿生学，模拟动物运动而开发的智能机器人，如双足机器人[18]、四足机器人[19]、机器鱼[]、机器鸟[21]等。
相比全驱动系统，欠驱动系统具有机械结构简单、成本低、能耗小、重量轻等诸多优点。简单的结构节省了部分执行器，可降低系统受损的可能，且易于维护；低能耗则可节约资源，缓解能源问题；重量轻则便于运输，灵活高，该优势在航空航天领域尤为突出。因此，这些优点在工程领域有着重要的意义，使得欠驱动系统的控制问题成为当前机器人与自动控制领域的热点研究方向之一。接下来，将对几种常见的欠驱动机电系行简要的介绍。
1.1.1 欠驱动机器人系统
非完整约束、执行器失灵是导致机器人欠驱动的主要原因。常见的欠驱动机器人有多关节欠驱动连杆机器人[22， 23]、移动机器人[3]、无人机[24-27]等。
欠驱动连杆机器人是指一类部分关节不可驱动的特殊机械臂，其典型代表是Acrobot与Pendubot，它们均是由一个有驱（actuated）转动关节和一个无驱（unactuated）转动关节构成的二自由度平面连杆机器人[22， 23]。两者的主要区别在于，前者的肩关节（即个关节）不可驱动，肘关节（即个关节）可驱动，而后者则正好相反。它们的控制目标均为将两个连杆从任意初始位姿镇定到竖直向上的状态。从结构上看，Pendubot与二级倒立摆[28]之间具有的相似：两者均须利用两个关节间的耦合关系来实现整个系统的镇定控制；但它们又有着本质区别：前者依赖关节的旋转运动实现控制目标，而后者的摇起与平衡控制则通过调节小车的水平运动来完成。
移动机器人是一种极为常见且应用比较广泛的欠驱动机器人系统，目前已有许多移动机器人系统应用到工厂物料运输、灾后救援、家庭服务等场合。例如，市面上常见的扫地机器人即为一种简单的移动机器人系统；主流的家庭服务机器人也是基于移动机器行设计的；甚是现阶段发展迅速的无人车系统，也可以看作移动机器人系统的扩展。对于此类系统而言，其控制目括两部分，即机器人系统的定位，以及调节机器人姿态其目标状态。对于在同一平面（水平面）内运动的移动机器人而言，它具有一个转动自由度与两个平动自由度，而控制量则仅为两维，即机器人的线速度与角速度，因此它是典型的欠驱动系统。该类系统存在速度层面上不可积分的运动学约束，即非完整约束[29]，其物理含义为移动机器人无法直接侧向运动，而仅能通过自身的转动及前后平动移侧向的位置。
上述两种机器人均受制于非完整约束，现实中也有一些具有完整约束的欠驱动机器人，如胶囊机器人（Capot）[30， 31]。Capot是一种新型的自主移动机器人，由于无须安装额外的移动装置（如轮子），其体积可做得小，能入人类无法到达的区行探索并返回相关信息，在诊断、管道检测、灾难救援等领域有着广阔的应用前景。一般而言，该系统由一个“胶囊壳”、一个可在“胶囊壳”内前后运动的柱状滑块及驱动装置组成。滑块可在驱动装置（如电磁线圈[30]或压电陶瓷[31]）的作用下在“胶囊壳”内运动，从而带动整个系统运行期望地点，完成特定的任务，与此同时，滑块返回初始位置。由于系统受到非光滑动态的影响，其控制问题挑战，近几年得到了相关研究人员的大量关注。
随着科技水平的发展步，无人机系统也在工业生产及日常生活中起到越来越大的作用。举例而言，很大一部分的农田农药喷洒已经由人工完成改为无人机空中完成，这也会提高农药喷洒的效率且喷洒效果更好；航拍领域对无人机的使用也已经常，通过无人机携带合适的传感器以及相机可实现对未知场景的快速探测及建模；而在国防科技中，无人机可以部分代替常规的军用战机，实现侦察和简单的打击作用，并能有效地避免己方人员伤亡。对无人机系统而言，其待控的状态量一括六个，即空间下的三维坐标以及相应的三个姿态角。而*常用的四旋翼直升机而言，其控制输入仅为四个旋翼的输入电压，显而易见，此类系统为典型的欠驱动系统。
1.1.2 基准系统
许多实际物理系统的主要运动特都可由基准系统表征，如运动员的单杠体操动作，可近似看作Acrobot的摇起与平衡运动。对基准系行研究，不仅能帮助人们把握现实系统复杂运动的主要特，还可验证新型的非线控制方法。常见的欠驱动基准系括倒立摆[10-12]、球杆/板系统[13-15， 32， 33]、旋转激励的平移振荡器（translational oscillations with a rotational actuator，TORA）系统[34]、惯轮摆系统[35]等。
倒立摆是一种*常见的基准系统，其结构多种多样，主括平面倒立摆[10]、三维倒立摆[11]、旋转倒立摆（Furuta摆）[12]、轮式倒立摆[36， 37]等。对于系含不止一个摆的情形，当n个摆以串联的形式连于同一个枢轴上时，称为n级倒立摆[28， 38]；当它们通过多个枢轴平行连接时，则称为平行倒立摆[39]。目前而言，倒立摆的控制问题研究可大致分为两类。类问题是将摆由初始竖直向下的位置摇起到竖直向上的位置，随后使之保持平衡。该任务通常通过两步完成，即首先设计一个合适的控制器将摆摇起平衡点附近较小的邻域内，然后切换线控制器将系统状态镇定平衡点[40]。类则考虑当摆的初始位置处于上半平面时，如何直接设计有效的非线控制策略使闭环系统的平衡点渐近稳定，同时使吸引域尽可能大。
球杆系统由一根绕固定支点转动的连杆与一个在连杆上滑/滚动的小球组成。常见的球杆系统可大致分为两类。类的支点处有电机驱动连杆转动，而小球则沿着连杆自由地运动，其控制目标是通过控制连杆转动，将小球从初始位置移动目标点处[13-15]。类则与类相反，借助有驱的小球运动来调节无驱的连杆转动，以达到期望的姿态[32]。除此之外，研究人员还开发了结构更复杂的球板（ball and plate）系统[33]，用平板替代连杆控制小球在二维平面内的运动。
TORA系统*早由密歇根大学安娜堡分校（University of Michigan，Ann Arbor）的Bupp等提出，作为双自旋航天器（dual spin spacecraft）的简化模型用于控制研究[35]。该系统由一个有驱的偏心轮和一个无驱的平移振荡器两部分组成，通过偏心轮的旋转来控制振荡器的平动。一般而言，其控制目标是构造合适的控制律，在系统遭受外界干扰的情况下，使振荡器运动期望位置处。
惯轮摆系统由一个可驱动惯轮和一个不可驱动的摆组成，与Acrobot类似，其任务是通过调整惯轮的转动，将摆摇起竖直向上的状态[34， 41]。有意思的是，有异于前面提及的几种欠驱动系统，惯轮摆系统的惯量矩阵为常数矩阵。
1.1.3 其他欠驱动系统
除上述应用实例之外，欠驱动系统在航空、航天、航海、仿生学等领域也发挥着重大的作用，如水面船舶[6， 42]、水下航行器（如潜艇）[43]、双足机器人[18]、四足机器人[19]、机器鱼[]、机器鸟[21]等，它们在军事和民用领域扮演着越来越重要的角色。
1.2 典型吊运系统
随着经济步，运输业、制造业等行业飞速发展。为提高工业产品的生产以及运输效率，获得更好的经济效益，各行各业对运输工具的精度与效率要求越来越高。作为典型的欠驱动系统，各类吊运（吊车）系统作为常用的运输工具，在国民经济发展中起到越来越重要的作用。接下来，根据吊运系统的不同工作场合及用途，将其划分为陆地吊运系统、海上船用吊运系统、空中无人机吊运系统三类，行简要介绍。
1.2.1 陆地吊运系统
1. 单摆吊车系统
对于陆地吊车系统而言，按照机械结构的不同，常见的吊车系统主要有三大类，即桥式吊车（overhead crane）系统、塔式吊车（tower crane）系统以及回转悬臂式吊车（rotary crane）系统，如图1.1所示。这三种系统的工作特各有千秋，适用的场景也不尽相同。分析其具体的机械结构，可以看出这些吊车系统有着如下的共，即所运送货物均通过吊钩和吊绳等结构，与各自系统中的台车或者悬行连接。这种设计可以简化系统的机械结构，同时节省成本，增大系统工作空间。但与此同时，由于缺乏对所运送货物的直接控制，此类结构也提高了运送过程中控制货物运动的难度，并导致吊车系统均具有欠驱动特，是典型的欠驱动系统，极大地提高了系统的控制难度。
图1.1 桥式吊车系统、塔式吊车系统和回转悬臂式吊车系统
常见的吊车系统中，桥式吊车系统是*常见也是应用*广泛的，物流仓库、港口码头、建筑工地、工业生产线等各种场景都可以见到桥式吊车的身影，具体如图1.2所示。对于吊车系统而言，其控制目标可以表述如下：通过向台车/桅杆驱动电机输入合适的控制信号，驱动台车/桅杆运动，带动所运送负载由初始位置其目标位置；同时在运送的过程中和运送结束后，对负载摆行有效，以方一步的工业操作，同时降低风险。然而，由于吊车系统的机械结构导致欠驱动特，无法直接控制负载的运动，同时负载摆动与台车/桅杆运动之间存在着较强的耦合关系，且系统工作过程中易受到未知的外界干扰影响，这均导致该系统的控制难度极大，较好的负载运送效果难以实现。因此，深入研究吊车系统的运动特，为其设计合适的自动控制策略，具有十分重要的意义。
图1.2 常见的桥式吊车应用场景
2. 双摆吊车系统
桥式吊车作为欠驱动系统的典型代表，在过去数十年中被国内外大量学者广泛研究，并且已经取得了丰硕的研究成果。在大多数情况下，为了便于分析，桥式吊车被建模为通过吊绳悬挂在移动台车上的质点（类似于单摆）。然而，在实际应用中，负载一般直接连接到吊钩上，吊钩则由起重缆绳悬挂。因此，当吊钩的质量不可忽略或负载的体积太大以致其与吊钩的距离不可忽略时（图1.3），吊车系统将呈现双级摆效应，即吊钩相对于台
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