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;;;; 1 “韩信点兵”是怎样一个数学问题？ 韩信是汉初名将，民间流传一句歇后语“韩信点兵，多多益善”，用来形容韩信的军事才能。有意思的是，“韩信点兵”也是传很广的数学问题。据说韩信在点兵的时候，会先让士兵3人站成一排，记下很后多出的人数；再让士兵5人站成一排，又记下很后多出的人数；很后让士兵7人站成一排，同样记下很后多出的人数。这样他能算出自己部队人数了。 在我国，“韩信点兵”问题很早出现在南北朝时期的数学著作《孙子算经》中，叫作“物不知数”问题：“一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数。”这个问题因此也被称为“孙子问题”。此类问题在现代数学中叫作“一次同余问题”，其解法称为“中国剩余定理”或“孙子定理”。 宋代数学家秦九韶在《数书九章》中对这个问题做出了完整系统的解答，称为“大衍求一术”。明代数学家程大位则在《算法统宗》中将它的解法编成易于上口的《孙子歌诀》：“三人同行七十稀，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零五使得知。”它的意思是：将除以3得到的余数乘以70，除以5得到的余数乘以2l，除以7得到的余数乘以15，加起来后减去105（或者105的倍数），得到的余数是很后的答案。按照这个方法，《孙子算经》中“物不知数”问题的很小答案是23。 2 九九乘法表是什么时候出现的？ 今天的小学生在学时，背诵九九乘法表是一项基。汉语一字一音，很好适于编成简单的口诀，九九乘法表是中国人利用口诀来学、加速计算的典型例子。 九九乘法表的起源很早，古代的一些数学书籍称它的发明人是伏羲。但伏羲只是个传说中的人物。在《管子》《荀子》等先秦典籍中，都可以找到九九乘法表的若干片段，如“三九二十七”“四八三十二”“六八四十八”“六六三十六”等等。目前所见很早的完整九九乘法表实物出自距今20年的湘西里耶秦简。 如今我们背诵九九乘法表都是从“一一得一”开始，一直背到“九九八十一”，而在古代，一开始却是倒着背的，从“九九八十一”到“二二得四”为止，大约到了十三、十四世纪的时候才改成和现在的次序一样。 关于九九乘法表，还有一个故事。相传齐桓公曾经在大厅中设置火炬，招贤纳士，整整一年却无人前来。于是东野有个人以九九乘法表作为自己的才能来晋见。桓公讥笑他说：“凭九九也能来见我吗？”这个人答道：“九九并不算什么才学，但如果您以礼待我，还担心比我更有才学的人不来吗？”齐桓公赞同他的意见，以礼待之。果然，过了一个月，四方贤人接踵而来了。 这个故事流传很广，很早的记载出自战国末期的《吕氏春秋》。虽然故事本身可能是杜撰的，但它少说明，在当时会背诵九九乘法表早已不是什么稀罕的事情了。 3 什么是“百鸡术”？ 百鸡术得名于《张丘建算经》中的百鸡问题，是中国古代很早明确给出一次不定方程组通解的算法。 张丘建是生活在北魏时期的数学家，他的百鸡问题如下：公鸡每只值五钱，母鸡每只值三钱，小鸡三只值一钱；现在要用一百钱来买一百只鸡，其中公鸡、母鸡和小鸡各买多少？ 我们用x、y、z表示公鸡、母鸡和小鸡的数目，便可列出不定方程组： 5x＋3y＋1／3z＝lOO x＋y＋z＝100 题目中隐含一个条件，即x、y、z都为小于100的正整数，张丘建给出了三组解： x1＝4，y1＝18，z1＝78 x2＝8，y2＝ll，z2＝8l x3＝12，y3＝4，z3＝84 书中还指出，在已知一组解的前提下，如果将公鸡数加4，母鸡数减7，小鸡数加3，则可得到另一组解。用符号表示为： x＝4＋4t，y＝18－7t，z＝78＋3t 其中t取0、1、2时即得到上面的三组正整数解。 此后百鸡问题作为趣题一直在民间流传，许多数学家都对它做过研究。清代咸丰年问的时日醇著有《百鸡术衍》一书。百鸡问题还流传到了印度，在十二世纪的巴斯卡拉的著作中出现了与百鸡问题设数接近相同的题目，区别只在于将百鸡改为百禽。
