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get_product_contenthtml 又,因为:已经证明了BK比KL等于FM比MN,同时BK等于KT,且FM等于PM,于是:TK比KL等于PM比MN。又,夹等角的边成比例,即角TKL等于PMN,因为:它们是直角,所以:三角形LKT相似于三角形NMP(命题Ⅵ.6)。 又,因为:三角形LKB与NMF相似,所以:LB比BK等于NF比FM。又因为,三角形BKT和FMP是相似的,所以:KB比BT等于MF比FP。所以:由首末比可得,LB比BT等于NF比FP(命题Ⅵ.6)。 又因为,三角形LTK与NPM是相似的,所以:LT比TK等于NP比PM,又因为,三角形TKB与PMF是相似的,所以:KT比TB等于MP比PF。所以:由首末比可得,LT比TB等于NP比PF(命题Ⅵ.6)。 又,已经证明TB比BL等于PF比FN。所以:由首末比可得,TL比LB等于PN比NF(命题Ⅴ.22)。 所以:在三角形LTB、NPF中,它们的边成比例,所以:三角形LTB、NPF是等角的,因此:它们也是相似的(命题Ⅵ.5、定义Ⅵ.1)。 所以:以三角形BKT为底且以L为顶点的棱锥相似于以三角形FMP为底且以N为顶点的棱锥,因为,它们由相似且数量相等的平面构成(定义XI.9)。 而,两个以三角形为底的相似棱锥之比等于它们相应边的三次比(命题Ⅻ.8)。 所以:棱锥BKTL比棱锥FMPN等于BK与FM的三次比。 类似地,过A、W、D、V、C、U向K作直线,过E、S、H、R、G、Q向M作直线,在每个三角形上作与圆锥同顶点的棱锥,我们可以证明,每对相似棱锥的比等于对应边BK与FM的三次比,即BD与FH的三次比。 又,前项之一比后项之一等于前项之和比后项之和(命题Ⅴ.12)。 所以,棱锥BKTL比棱锥FMPN等于以多边形ATB[JCVDW为底、以点L为顶点的整体棱锥比多边形EPFQGRHS为底、以点N为顶点的整体棱锥。 因此也得到以ATBUCVDW为底、以点L为顶点的棱锥比以点EPFQGRHS为底、点N为顶点的棱锥等于BD与FH的三次比。 又,根据假设,以圆ABCD为底且以L为顶点的圆锥比立体O也等于BD与FH的三次比,所以:以圆ABCD为底且以L为顶点的圆锥比立体0也等于以多边形ATBIJCVDW为底且以L为顶点的棱锥比以多边形EPFQGRHS为底、以N为顶点的棱锥。所以:由*比可得,以圆ABCD为底、以L为顶点的圆锥比包含在它内的以多边形ATBucVDw为底、以L为顶点的棱锥等于立体0比以多边形EPFQGRHs为底、以N为顶点的棱锥(命题Ⅴ.16)。 但是此圆锥大于它内的棱锥,因为圆锥包含棱锥。所以:立体O也大于以多边形EPFQGRHS为底、以N为顶点的棱锥。但它又小于,这是不可能的。 所以:以ABCD为底、以L为顶点的圆锥比任何小于以圆EFGH为底、以N为顶点的圆锥的立体都不等于BD与FH的三次比。 类似地,我们可以证明,圆锥EFGHN与任何小于圆锥ABCDL的立体的比不等于FH与BD的三次比。 那么我进一步说,圆锥ABcDL比任何大于圆锥EFGHN的立体不等于BD与FH的三次比。 因为,如果可能,令有一个较大的立体O满足此比。于是:由反比可得,立体0比圆锥ABCDL等于FH与BD的三次比。而立体O比圆锥ABCDL等于圆锥EFGHN比某个小于圆锥ABCDL的立体。 所以:圆锥EFGHN比某个小于圆锥ABCDL的立体也等于FH与BD的三次比,这已证明是不可能的。 所以:圆锥ABCDL比大于圆锥EFGHN的任何立体不可能等于BD与FH的三次比。 又,已经证明,与一个小于圆锥EFGHN的立体的比不可能是BD与FH的三次比。所以:圆锥ABCDL比圆锥EFG。HN等于BD与FH的三次比。 又,圆锥比圆锥等于圆柱比圆柱,因为同底等高的圆柱是圆锥的三倍,所以:圆柱与圆柱之比是BD与FH的三次比(命题Ⅻ.10)。 所以:相似圆锥或相似圆柱之比等于它们底的直径的三次比。P486-487