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1.1几何命题的物理意义
欧几里得几何学的宏伟大厦，是阅读该书的大多数读者在学生时代就很熟悉的，在这建筑的高高的楼梯上，认真的教师逼迫你们花了不知多少时间。对这座宏伟的大厦，你们的敬畏之心或许会多于热爱之心。凭着往昔的经验，如果有人说这门学科中的命题，哪怕是最冷僻的都是不真实的，你们一定会嗤之以鼻。但是，如果有人问：“既然这些命题是真实的，那么你们究竟是如何理解的呢？”或许你们这种理所当然的骄傲态度就会马上消失。现在，让我们来考虑一下这个问题。
“平面”、“点”和“直线”之类的概念引发出了几何学，在大体上我们有确定的观念和几何学的一些简单命题（公理）相联系，在这些观念的影响下，我们倾向于把简单命题当作“真理”接受下来。然后以我们认为的合乎逻辑的方法，即用我们不得不认为是正当的逻辑推理过程，阐明其余的命题是公理的推论，也就是说这些命题已得到证明。于是，只要从公理中推导出的一个命题用的是公认的方法，那么这个命题就是正确的（或是“真实的”）。这样，各个几何命题是否“真实”就归结为公理是否“真实”。可是上述最后一个问题本身接近没有意义，而且用几何学的方法无法解答。我们难道要问“过两点只有一条直线”是否真实？这当然不能。我们只能说，几何学研究的是称之为“直线”的东西，它说明每一直线专享确定的性质是由该直线上的两点来确定。“真实”这一概念有由该直线上的两点来专享确定的性质。与纯几何的论点不相符的是，“真实”在习惯上是指与一个“实在的”客体相当的意思；然而无论如何，几何学并不涉及其中所包含的观念与经验客体之间的关系，而只是涉及这些观念本身之间的逻辑联系。
不难理解，我们不得不将这些几何命题称为“真理”。几何观念与自然界中具有正确形状的客体相对应，而具有正确形状的客体无疑是产生那些观念的专享原因。几何学应制止这一过程，以便使它的结构获得优选的逻辑一致性。例如，在我们的思想习惯中，通过一个可视为固定的物体上的两点来测定“距离”的办法是根深蒂固的。我们在观察三个点位于一条直线时，如果适当地选择观察位置，用一只眼睛观测，使三个点的视位置能够相互重合，我们也认为这三点位于同一直线。
如若依照我们的一向思维习惯，我们可以在欧几里得几何学中补充如下命题：在一个可视为固定的物体上的两个点永远对应于同一距离（直线间隔），而与该物体的位置发生的任何变化无关，那么，欧几里得几何学的命题就可以归结为关于所有固定物体的所有相对位置的命题。如此一来，几何学就可以看作是物理学的一个分支。现在，对几何命题是否是“真理”的问题，我们能够提出合理的解释。我们有理由问，对于与几何观念相联系的那些真实的东西，这些命题是否已被满足。用准确的术语来表达，也可以这样说：我们把具有此种意义的几何命题的“真实性”理解为该几何命题对于用圆规和直尺作图的有效性。
当然，以此断定几何命题的“真实性”，其基础是不大完整的经验。但我们目前暂且认定这种“真实性”。然后在后一阶段我们将会看到，这种“真实性”是有限的，那时再来讨论这种有限性的范围。
