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第七章 空间解析几何与向量代数
第一节 空间直角坐标系
一、教学基本要求
1. 掌握空间直角坐标系和空间点的直角坐标的概念.
2. 掌握空间两点间的距离公式.
二、答疑解惑
在空间直角坐标系中，坐标面上方点的坐标有何特征？
答 过坐标面上方的点作垂直于轴的平面，与轴的交点一定在轴的正半轴上，其竖坐标大于零，故在空间直角坐标系中，在坐标面上方的点的竖坐标一定大于零.
三、经典例题解析
题型 空间直角坐标的概念
例?1 指出下列各点所在的坐标面或坐标轴：，，，.
解 在坐标面上，在坐标面上，在轴上，在轴上.
例?2 求点分别关于（1）各坐标面；（2）各坐标轴；（3）坐标原点的对称点的坐标．
解??（1）点关于坐标面的对称点为，关于坐标面的对称点为，关于坐标面的对称点为；（2）点关于轴的对称点为，关于轴的对称点为，关于轴的对称点为；（3）点关于坐标原点的对称点为.
例3 求点到坐标面及轴的距离．
解 点到坐标面的距离即为点的竖坐标的值，即点到坐标面的距离为；过点作垂直于坐标面的直线，垂足为点，过点再作垂直于轴的直线，垂足为点，于是直线垂直于轴，即线段的长度为点到轴的距离，而在直角三角形中，，于是点到轴的距离为5．
四、习题选解
1．求点分别关于下列条件对称点的坐标：（1）坐标面；（2）轴；（3）坐标原点.
解??（1）关于坐标面的对称点为；（2）关于轴的对称点为； （3）关于坐标原点的对称点为.
2．求点到坐标原点，轴及坐标面的距离.
解 到坐标原点的距离为，到轴的距离为，到坐标面的距离为.
3．在坐标面上，求与，，三点等距离的点.
解 设所求点的坐标为，因为该点到，，三点 的距离相等，所以，并且 ，解得，，所以该点的坐标为.
4. 在空间直角坐标系中，指出下列各点所在的卦限：，，，.
解???在第四卦限，在第五卦限，在第八卦限， 在第三卦限.
5．求点分别关于（1）各坐标面；（2）各坐标轴；（3）坐标原点的对称点.
解??（1）关于面的对称点为，关于面的对称点为，关于面的对称点为；
（2）关于轴的对称点为，关于轴的对称点为，关于轴的对称点为；
（3）关于坐标原点的对称点为.
6．试证明以，，三点为顶点的三角形是等腰直角三角形.
证明 由空间直角坐标系中两点距离公式得三角形三条边长分别为
，，.
显然有，所以此三角形不仅是等腰的还是直角的，即为等腰直角三角形.
