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等比级数的应用——传销中的收益问题传销通俗来说就是拉人头发展下线，你拉别人进来，别人再拉新人进来，新人再拉组织外其他的新人进来，每次进人，你都有提成。大多数传销公司会这样忽悠大家，只要你的下线不断把新人拉进来，你什么都不用干，就能躺着拿钱了。那么，我们就从数学上分析一下这个看似没问题的机制是否真能保证赚钱。 假定某个传销公司的提成方式是这样的： （1）每一个人入会需要缴纳1万元（或者买1万元的东西）； （2）发展一个直接下线，可以从后者缴纳的会费中提成20%； （3）直接下线每发展一个下线，可以从直接下线的下线身上再提成20%的20%。 接下来的问题是，如果张三入会了，他在什么情况下可能挣到钱？ 我们先分析两种情况。 种情况：张三找到 5 个朋友也加入这个传销组织，而他的每一个下线也发展了 5 个下线。这样，他付出 1 万元，从每个直接的下线身上得到 10000×20%=2000 元。5 个下线一共给他带来 1 万元。类似地，下线的下线（共 25 人）也可以给他带来了一共 10000 元，两者相加是20000元，张三赚10000元。 第二种情况：张三找到 3 个朋友也加入这个传销组织，而他的每一个下线也发展了 3 个下线，这样他的收入一共只有 9600 元，反而亏了400元。有兴趣的读者朋友可以自己验算一下。从这两个例子可以看出，要想在传销组织中挣钱，并不是一件容易的事情。一个人自己可能会因为一时冲动，或者贪财而被卷进去，但是他要在朋友中找到 5 个和他同样糊涂或者贪财的人，并不容易，而且那 5 个人还必须和他一样努力去发展下线。而且，由于朋友之间的朋友圈有很大的交集，通常的情况就是张三想发展的人，和他的朋友想发展的人都是一群人。这也是为什么现在很多传销组织要半胁迫地拉很多陌生人入会的原因。 接下来我们再看另一种情形，假设这个传销组织对会员“特别好”，每一个会员可以自己拿下面所有层会员的提成，当然每往下一层，提成的比例要逐级指数递减。这样的话，如果层数不断加深，直到无穷（这在现实生活中当然行不通，因为世界上的人数是有限的），是否处在比较高层的人就有无限的钱可以拿了呢？也未必，这要看每一层的人能发展多少会员了。 在上面 种情况下，即张三成功地发展了 5 个下线，而每个下线又发展了5个下限，逐层发展下去，张三还真能拿无限多的钱，因为每一层都给他贡献了 10000 元，如果层数不断涨下去，他就能拿无限的钱。 但是，在第二种情况下，即张三和他所有的下线（既包括直接的，也包括间接的）每人都发展了 3 个人。虽然张三挣的钱可以超过他付出的 10000 元，但却是有限的。具体来讲，他从下一层下线 获得 6000 元，下面第二层获得 3600 元，第三层获得 2160 元，这样逐渐减少， 无限加下去，总和并不是无穷大，而是一个有限的数，只有1.5万元。具体讲，就是： 6000+3600+2160+…+10000×0.6n =15000（元）。
大家如果有兴趣，可以用公式（2.5）验算一下，在这种情况下r=0.6。 ，我们再看另一种新的可能性，张三和他所有的下线每人都发展了两个人，这时，r 只有 0.4，张三从各层下线挣到的钱的总数是：4000+1600+960+…+10000×0.4n =6666.67（元）。
在这种情况下，虽然张三看似从无穷多的人身上挣到了钱，可是，挣钱的效率衰减得很快。他挣的钱还没有付出的本钱多。很多人误以为，只要自己能够从无限多的人身上挣钱，就能挣很多钱，这其实是不了解级数这个概念而产生的误解。 对于传销能否挣到钱的问题，如何宣传和吹嘘都没有用，我们只要用等比数列求和公式把问题分析一下，就清清楚楚了。
