在数学里，有个有用且常用的解题法——“茶壶原理”（Tea Kettle Principle），这和清末民初国学大师辜鸿铭先生的“茶壶理论”无任何关联。
话说有一位工程师和一位数学家，同时被要求解答下列问题。
问题A：在厨房地板上，有一个空的茶壶，请提供一个方法，煮一壶开水来泡茶。
工程师回答：把茶壶提起来，打开水龙头装满水，将茶壶放在炉子上，点燃炉火，静待水被烧开；数学家说：我的方法也一样。
接着，他们被要求解答下列问题：
问题B：炉子上放着一个茶壶，里面装满水，请提供一个方法，煮一壶开水来泡茶。
工程师回答说：点燃炉火，静待水被烧开；数学家说：把茶壶从炉子上提起来，把茶壶里的水倒光，再把空的茶壶放在厨房地板上，于是，问题B就化成已经知道怎样解答的问题A了。
这虽然是一个笑话，但是把待解答的问题化成已经解答的问题，却是在数学、科学里，甚至在生活里，有用而且常用的方法。
这就是“茶壶原理”。
让我再多说一点，和上述笑话类似的例子还有很多。
比如，林先生有一位从香港来的朋友，打电话问林先生怎样从台北火车站到101大楼。林先生详细地一步一步为他说明如何坐捷运、转公交车、再走路；果然一切顺利。第二天，香港朋友又打电话问他如何从东区诚品到101大楼。
林先生说您就坐出租车从东区诚品到台北火车站，在台北火车站再按照我昨天告诉您那条路线走就对了。
这就是把一道待解答的问题，化成一道已经知道如何解答的问题。关于个中奥妙，我就不用再多费唇舌了，这就是“茶壶原理”。
有人问老先生：“您今年贵庚？”老先生说：“我40岁时，我的小儿子出生。”那人继续问：“那么您小儿子今年几岁？”老先生答：“他比邻居的张博士小5岁。”“那么张博士今年几岁了？”老先生答：“张先生属狗，刚从美国拿了博士学位回来。”
假设今年是2012年，属狗的是78、66、54、42、30、18或者6岁，所以，张博士应该是30岁，老先生的小儿子是25岁，老先生是25＋40＝65岁。
在这个问题当中，我们先把老先生是几岁的问题，化成他小儿子是几岁的问题，再把他小儿子是几岁的问题，化成张博士是几岁的问题。当我们找出张博士是几岁，就可以解答小儿子是几岁，然后就可解答老先生是几岁了。
上述例子指出应用“茶壶原理”的两个要点：,我们先把一道待解答的问题，化成另一道待解答的问题；第二,终我们要把一道待解答的问题，化成另一道已经知道如何解答的问题。
这两个要点也可以用两句成语来描述：,前事不忘，后事之师；第二,饮水思源。可不是贴切得当吗？
让我再讲一个故事。有位美国数学家想在中文期刊发表一篇他用英文写的论文，因此，请好友高教授帮忙将论文翻成中文。高教授把论文翻译完成后，这位美国数学家觉得应该在论文里加一个脚注：作者要感谢高教授的帮忙，把这篇论文翻译成中文。但是，他又不懂得怎样用中文写这个脚注，只好先用英文把脚注写好，再请高教授翻成中文。高教授把脚注翻成中文后，这位非常严谨的数学家觉得应该再加一个脚注：感谢高教授帮忙将脚注翻成中文。但他还是只能用英文把这个脚注写下来，拿去请高教授翻成中文。这么一来，问题来了，他还是必须再度感谢高教授帮忙翻译这个脚注吗？这岂不是没完没了吗？
对一个“茶壶原理”通透的数学家来说，小事一桩，他会先请高教授翻译“作者要感谢高教授的帮忙，把这篇论文翻译成中文”这句话。再请高教授翻译“作者要感谢高教授的帮忙，把前面的脚注翻成中文”这句话。后，自己把这句话的中文翻译“作者要感谢高教授的帮忙，把前面的脚注翻成中文”抄一次，就可以把他要表达的感谢之意全部说清楚了。
故事讲完了，让我讲一点数学。有一连串数字，a1、a2、a3、a4……an-1、an……，假设每一个数字都等于它前面那个数字加3，也就是an＝an-1＋3。换句话说，如果我们要决定第n个数字是多少，我们只要知道第n-1个数字是多少，就可以把第n个数字算出来了。这可不正是“茶壶原理”的应用吗？
那么接下去，第n-1个数字是多少呢？我们只要知道第n-2个数字是多少就可以了，这又是“茶壶原理”的应用。
一路倒推下去，第二个数字是多少呢？是个数字加3，因此，只要知道个数字a1，如果a1＝19，那么就可以知道a2＝19＋3，以此类推a3、a4……an-1，后可得出：an＝an-1＋3。
举例来说，一个员工的薪水，每个月加500元，您想知道他9月的薪水吗？只要看8月的薪水单加500元就行，如果您要知道8月的薪水，那只要看7月的薪水单加500元就行。这样倒推下去，只要有某一个月的薪水单，一切问题就都解决了。这就是“等差级数”，或者叫做“算术级数”，就是在以前我们学过的一连串数字a1、a2、a3、a4……an-1、an后面加上d：
a2＝a1＋d，a3＝a2＋d，……，an＝an-1＋d。
那时，我们一步一步往前推，现在我们学会了“茶壶原理”，就可一步一步往后推，an＝an-1＋d，an-1＝an-2＋d,……, a2＝a1＋d，往前推、往后推都是同一回事，如果您懒得往前推、往后推，简化成一个公式就是：
an＝a1＋（n-1）d
让我趁这个机会也提一下大家也都学过的：有一连串数字a1、a2、……、an-1、an，另外r是一个常数，an＝r×an-1，an-1＝r×an-2，……，a2＝r×a1。要算出an，可以一步一步往后推到a1，这我们在中学也学过，叫做“等比级数”或者“几何级数”，那时是一步一步往前推，a2＝r×a1，a3＝r×a2……an＝r×an-1，往后推、往前推都是同样一回事，简化成一个公式就是：
an＝rn-1×a1
大家还记得如何用复利计算银行的存款吗？
如果利率是每月3%，那么第12个月的存款总数是1.03乘第11个月的存款总数，也就是a12＝1.03×a11，接下来，a11＝1.03×a10，a10＝1.03×a9，这正是依照 “茶壶原理”来算。当然直接来算也可以：
a12＝1.0311×a1
有一个政府机关编预算，每年的预算是去年预算的65%加上前年预算的45%，所以，我们可以用an＝0.65×an-1＋0.45×an-2这么一个公式来表达。换句话说，如果我们要知道今年的预算是多少，只要知道去年的预算和前年的预算，就可以算出今年的预算。那么去年的预算是多少呢？只要知道前年和大前年的预算就可以算出来。这正是“茶壶原理”的推广，把一道要解答的问题，化成两道已经知道如何解答的问题，这样倒推回去，我们只要知道开始年和第二年的预算，接下来每年的预算就可以一一算出来了。
让我再举一个例子，讲一道数学上古老有名的题目：一对刚出生的兔子，一个月后就发育成熟，发育成熟的兔子，每个月会生一对兔子，源源不绝。请问n个月后有多少对兔子？
让我们从头开始算起：
第1个月，有一对兔子刚出生；
第2个月，这对兔子发育成熟了；
第3个月，上个月发育成熟的兔子，生下一对兔子，因此一共有2对兔子；
第4个月，上个月发育成熟的兔子，生下一对兔子，上个月出生那对兔子发育成熟了，因此总共有3对兔子；
第5个月，上个月有2对成熟的兔子，各生下一对兔子，加上上个月出生的兔子，因此一共有5对兔子；
那么，第6、第7、第8个月呢？
就让我们直接算算第n个月有多少对兔子吧。
第n-1个月的兔子里，有的刚出生，有的则是发育成熟的，因此，第n个月的兔子总数等于第n-1个月的兔子数目，加上在第n-1个月已经发育成熟兔子的数目，那么在第n-1个月里，已经发育成熟兔子的数目是多少呢？那不正是第n-2个月里，所有兔子的总数吗？因此，我们得到了一个方程式：
an＝an-1＋an-2
第n个月兔子的总数，等于第n-1个月兔子的总数再加上第n-2个月兔子的总数。这可不正是“茶壶原理”的应用吗？
图1-1呈现了从个月有一对刚出生的兔子开始，生生不息繁衍的情形。
这样一来，我们就知道，既可以一步一步向后推，也可以一步一步向前推，从个月有一对刚出生的兔子，第二个月有一对已经成熟的兔子开始，1＋1＝2，1＋2＝3，2＋3＝5，3＋5＝8，就可以一路算下去了。
1、1、2、3、5、8、13、21、34、……这一连串的数字叫做“斐波那契数列”（Fibonacci Sequence），它有很多很多有趣的数学性质。假如您不要一步一步向前推或者往后推，也有一个公式可以用：
“茶壶原理”的基本精神就是用“已知”来解答 “未知”，很多看似复杂、困难的问题，透过分解、重复等动作，就变得简单和容易了。
操场上有64个学生，要按照高矮排成一列。首先，我们只有一个关键动作：比较两个人的身高，决定哪个高、哪个矮。我们可以这样做：
先把32个人按照身高排成一列，叫做A，再把另外32个人按照身高排成一列，叫做B。接下来，把A列里的人和B列里的人，叫出来比较一下，让较高的那个人出列，因为他是64个人里的；接着，重复上述步骤，在剩下的A列和B列里，让那个人出列，因为他是剩下来的人里的了，这样逐步比下去，后就可以顺利把64人按照高矮排成一列了。
但是，首先，如何把这32个人按照高矮分别排成A和B列呢？
我们可以先把32个人分成两组各16个人，再按照高矮分别把这两组人排成两列，然后，按照前面的方法，把这两列合并成按照高矮排成一列32个人。但是，那又如何把16个人按照高矮排成一列呢？只要重复上述步骤，先把16个人分成两组各8个人，分别按照高矮排列。
相信我说到这里，大家就明白了，只要重复运用 “茶壶原理”，后的关键动作就是两个人按高矮排列，这就真的是易如反掌了！