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据说，世界上再版次数多、流传广的书，除了圣经之外，就要数欧几里得的《几何原本》了。圣经的流传依靠宗教的力量，而《几何原本》的历久不衰靠的是它在科学上的卓越成就。 《几何原本》把当时人类所掌握的相当丰富，但杂乱无章的几何知识熔于一炉，铸成了一个空前严整的科学体系。这在人类认识世界的历史上实为一大创举。同时，《几何原本》又以它无可争辩的威望，自然而然地成为几何课程的部教材，占领中学几何课堂两千多年而历久不衰。如今，初中的几何课本虽大有删改，但不外乎是《几何原本》的变形或缩影。 事实表明，欧几里得真是一箭双雕。因为《几何原本》不仅在科学领域是成功的，在教育领域也是成功的。它把生动直观的图形与严密的论证紧密结合起来，出发点简明而无可争辩；特别是它还给学生提供了丰富多彩，而且几乎是从易到难任何一级难度的习题，从而激起学生学习几何的高度兴趣，甚至产生如痴如醉的感觉，这是其他任何课程都无法比拟的。 2．2 国王的请求 欧几里得的几何体系也并非完美无缺。经过人们两干多年的探讨，后由希尔伯特这位数学巨匠，弥补了它逻辑上的漏洞。希尔伯特手法之高明，几乎达到了无可指摘的地步。但在教育方面至今仍无多大改观。由于欧几里得几何体系本身的不足，使得几何课程仍让中学数学教师和学生感到棘手。 有这么一个故事：古埃及的一位国王托勒密，曾向欧几里得学习几何。 国王被一连串的公理、定义、定理弄得头昏脑涨，便向欧几里得请求道：“ 亲爱的欧几里得先生，能不能把您的几何弄得简单一些呢？”这位伟大的学者严肃地回答说：“几何无王者之路！” 人们常常是怀着对欧几里得的钦佩之情与对国王的嘲讽之意谈起这个故事。但是，我倒想替这位国王说几句话。 作为学生，总是希望老师能把课讲得精彩些、明白些，总是希望教科书编得更容易看懂。在这一点上，国王的要求，正是道出了两千多年来几何教师和学生们的心声。几何难学，已是一个不争的事实。关于初等几何学习方法、教学方法、解题方法的书，出了一本又一本，种类与数量之多，与几何课的课时不成比例！这一切都说明，几何是一门公认的难学的课程。初中生成绩分化，也常常先在这门课上表现出来。 2．3 难在何处 为什么难学呢？几何学是讲空间形式的。是空间形式本身难于认识，还是欧几里得的体系不够好，把本来容易认识的东西讲难了呢？ 对于客观世界的空间形式，我们奈何它不得。所以，我们的改革只有从欧几里得的体系本身寻找原因，挑老先生的毛病！ 学习一门课程，好比游览一个城市；课程的逻辑体系，就好比城市的交通系统。好的交通系统，应当有“放射型”的交通中心。交通中心应该四通八达，找到它，我们到哪儿都方便。而欧几里得的几何体系又怎么样呢？它没有一个突出的中心，没有一个能让学生俯瞰全局的制高点。它的逻辑结构是串联式而不是放射型的。《几何原本》的每一节都那么重要，任何一部分没学好，往前走的路就断了，这就是串联式逻辑结构的特征。欧几里得把我们引进了一座精巧雅致的古代园林，这儿有目不暇接的美景，却没有简单明了的交通指南。你不知道哪里才是通往园林各个角落的中心点，只有小心翼翼地跟在这位老向导的后面，沿着一条曲曲折折的小径饱览胜景。稍不留心，就会迷路！ 欧几里得体系的又一个令人头痛的问题，是它没有提供一套强有力的、通用的解题方法。我们学会了加减乘除，就会算很多算术题：学会了解二元一次方程组，就能解大量方程式应用题。但几何与算术、代数不一样，尽管我们学了一堆几何定理，仍然会在一些其实并不难解的几何习题面前束手无策。这是为什么呢？其实道理也很简单，欧几里得给我们的基本解题工具，主要是全等三角形和相似三角形；而许多题目里出现的图形，并不包含这些。要用上它们，往往要画辅助线。可怎样画辅助线，需要想象与创造。所以说欧几里得给我们的几何，不仅是数学，更是艺术！ 几何学虽然已有两千多年的历史，但就解题方法而言，直到20世纪80年代，它仍停留在“一题一法”的水平上。 整个数学教育是个大系统，几何教学是其中的一个子系统。它和大系统匹配得如何呢？它有没有充分利用大系统为它提供的环境支持呢？它有没有为大系统尽可能多地作出自己的贡献呢？ 欧几里得为我们留下一个美丽但相对封闭的花园。有人把欧氏几何比作一颗没有串上金线的珍珠。它既不以小学生们掌握的几何知识为发展基地，又不用代数所提供的关于方程式的知识作为解题的锐利武器。它拥有丰富的习题，但并不准备为姐妹课程——代数提供复习、巩固、提高的用武之地。 它更没有暗示我们解析几何与高等数学即将出现。这一切确实令人遗憾。 这一切，当然不能怪欧几里得。三角法的出现比欧几里得晚几百年；代数里的字母运算，是在欧几里得之后一千多年才出现的；他更不知道实数。 所以，欧几里得几乎是赤手空拳对付面前的一堆资料。 说句公道话，欧几里得已经干得很出色了。他确实给我们留下了一份珍贵的遗产。我们刚才挑毛病，并不是为了责备古人，而是为了给自己提出要求——如何使广大中学生更容易继承这份遗产，学好几何。 虽然两千多年前那位国王的请求被欧几里得拒绝了，但今天，在我们拥有了更多知识，比欧几里得站得更高、看得更远的情况下，国王的希望—— 也就是广大中学生的希望，能不能在我们手中成为现实呢？P9-13
