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"章  不自觉的数学家

回到巴黎,我决定从位于城市中心位置的卢浮宫博物馆开始我们的征程。在卢浮宫搞数学?这看上去可能不太搭调。这座曾经的皇家宫殿、如今的博物馆,看上去是画家、雕塑家、考古学家或者历史学家的领地,总之不会是数学家。然而,我们就是要在这里重新建立一种新的“印象”。

来到卢浮宫,我看到了屹立于拿破仑庭院中心巨大的玻璃金字塔,这似乎就是一封来自几何学的请柬。但是今天,我和更古老的上古时代有个约会。我走进博物馆,时间机器正式开启。我从法兰西的国王们面前逐一经过,又掠过文艺复兴时期和中世纪,后回到了遥远的古希腊时代。一个展厅接着一个展厅,我看见了古罗马时期的雕塑、古希腊花瓶和古埃及的石棺。我还要再回到更久远的过去,于是,我终于进入了史前史时期。后退了这么多个世纪,我必须逐渐忘掉所有的事情。忘掉数字,忘掉几何学,忘掉文字。在初的初,没有人知道任何事情,也没有什么东西是需要被知道的。

首先,让我们回到1万年前,驻足于美索不达米亚。

其实仔细想想,我应该还能回到更久远的过去。让我再继续后退,退回150万年前,回到旧石器时代的初期。在这个阶段,原始人类还没有学会用火,所谓的“智人”根本还是天方夜谭。此时的世界由亚洲和非洲的直立人统治,或许还有一些尚未被考古发现的直立人的亲戚。这是石器的时代,“手斧”正流行。

在营地的一个角落里,琢磨匠人们正在工作。其中一人拿起了一块没有被打磨过的燧石,是他几小时之前收集起来的。他坐在地上(可能是盘腿而坐),将这块燧石放在地面上,一只手固定住这块燧石,另一只手握住另一块大质量的石头,用它敲击燧石的边缘,一块碎片应声而落。他看到了碎片,然后转了转手里的燧石,再次敲击另一侧的边缘,使燧石的边缘形成锋利的棱脊。剩下的就是在整个轮廓上重复操作了。在某些部位,燧石太厚或者太大了,所以需要削掉很大一块,来达到匠人终想要实现的效果。

“手斧”形状的出现,既不是巧合,也不是灵光一闪。它是经过一代又一代古人的思考、琢磨、传承而后实现的。我们发现了好几种不同类型的手斧,随着所处时期和发现地点的不同而有所区别。有一些是具有凸出尖端的水滴形;另外一些更浑圆的,看上去像是蛋形;还有一些几乎没有圆角,更接近等腰三角形。

然而无论是哪种手斧,都有着一个共同点:对称。到底是因为这种几何构造的实用性,还是仅仅出于某种审美意图,促使我们的老祖宗们坚持使用这种构造呢?今天的我们很难弄清楚这一点。可以肯定的是,这种对称不可能是一个巧合。琢磨匠人应该预先设计好了自己的打磨计划,在完成手斧之前就考虑好了形状。对于要被打磨的燧石,他们在头脑中构建了一个抽象的形象。换句话说,他们在脑海中“搞数学”。

当这位琢磨匠人终完成这个手斧之后,他会仔细观察这件新工具?伸直手臂,将手斧置于光线下,更好地观察它的轮廓,在某些锋利边缘处敲掉两三小块碎渣来完善手斧的形状,终,他得到了一件满意的作品。这一刻,他的感受会是怎样的呢?他是否已经感觉到了这种由科学创造带来的巨大的喜悦之情?即从头脑中的一个抽象概念出发,理解和塑造外部的世界。不管怎样,抽象概念被发扬光大的时刻,此时还没有到来。这时还是实用主义大行其道的时期?手斧可以用来砍树、割肉、在毛皮上钻洞,以及挖地。

好吧,其实我们并不是要在这个问题上做进一步的研究。毕竟这些对于史前史的阐释看上去都太不靠谱,就让这些古老的时代在历史中继续沉睡吧,而我们则回到我们的冒险的真正起点:公元前8000年的美索不达米亚平原。

在新月沃土上,有一块区域,在未来我们将称其为伊拉克,此刻正在进行着新石器时代的革命。自古以来,人类就在这一地带定居。在北部高原,游牧民族成功地安定了下来。这个地区可以算作是所有发明的“实验室”。由未烧制加工的泥砖生坯搭建成的房屋形成了人类历史上的批村落,有干劲儿的一批建造者甚至还盖起了小楼。此时的农业是一种先进的技术,温和的气候使得非人工灌溉的农作物的生长成为可能;动植物逐渐地被驯化;陶器的出现也正在萌芽之中。

嘿,好吧,那就让我们来聊一聊陶器吧!因为,虽然这一时期的很多证据都消失了,不可挽回地散佚在了时光的隧道中,但是考古学家们还是发掘出了数千件陶器:陶盆、花瓶、罐子、盘子、陶碗……在我周围的玻璃橱里,塞满了各种陶器。古老的陶器可以追溯到9000年以前,从一个展厅到另一个展厅,好像有“小拇指”的小石子引路一般,带领我们穿越若干个世纪。陶器形状各异,大小不一,它们的装饰、塑形、彩绘或者雕花也都不一样。有一些陶器有“脚”,有一些陶器有手柄。有的陶器完整,有的布满裂痕,有的碎裂,有的是重新修复的。有一些陶器,却只剩下一些零星的残片。

陶器是火的初艺术品,随后才是青铜、铁和玻璃。使用黏土?这种具有可塑性的、能够在潮湿的地区大量获取的泥土,陶工能够随心所欲地塑造自己的作品。当陶工塑造出满意的形状之后,只需要将生坯风干几天,然后送入窑中烈火烧制,就能使整件陶器定型。人类掌握这种技术的时间已久。早在2万多年以前,人类已经在用这种方法烧制小型陶像。然而,直到近来,伴随着游牧民族的定居,人们才开始烧制日常生活中经常使用的陶器。新的生活方式需要存储的工具,于是人们烧制出了两臂环抱那么大直径的罐子!

这些陶土容器迅速成了日常生活的必需品,以及村庄集体组织的必要用品。接下来,人们开始制作各种耐用的餐具,不管造型好不好看。不久之后,陶器上出现了装饰;又过了一段时间,开始出现了不同的制作流派。有些匠人在陶器生坯还未风干的时候,用贝壳或者树枝在上面印刻花纹,然后再送入窑中烧制;有一些匠人先烧制风干的陶器,然后再用石器雕刻出花纹;还有一些匠人喜欢在陶器外侧刷上一层天然的染色涂料。

我一一走过东方古文物部分的展厅,由美索不达米亚人设计的、丰富的几何图形让我感到惊奇。正如我们的祖先用石头精心琢磨出手斧一样,这些对称性实在是太精巧了,不可能是未经过深思熟虑的随性之作。其中,花瓶边缘一周的“腰线”尤其引起了我的注意。

所谓“腰线”,就是一种带状的、围绕着整个罐子外侧一周的装饰花纹,表现为同一种纹样的不断重复。在所有常见的腰线中,有三角形锯齿状花纹,还有由相互缠绕的两条花纹构成的腰线,然后是人字交错的腰线、方形雉堞状的腰线,以及带尖斜方形、打了阴影线的三角形、同心圆……

当你从一个地区的展品看到另一个地区的展品,或者从一个时期看到另一个时期,你就能发现一些模式:有一些花纹非常流行,它们被不断地使用、变形,通过多种方式被改善。然后,几个世纪过去,这些模式被“淘汰”了,被另外一些当时流行的花纹取代。

一路看下去,然后我作为数学家的灵魂被点亮了。我看到了对称、旋转、平移。然后在大脑中,我开始分类、整理。我多年来研究的几个定理浮现在脑海中,而我需要的,正是几何变换的分类。我拿出笔记本和铅笔开始涂抹起来。

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