一、他是这样开场的
学年成绩发表不久的一个下午，初中二年级的两个学生李大成和王有道在教员休息室的门口站着谈话。
李：“真危险，这次的算学只有五十九点五分，要不是四舍五入，就不及格，又得补考。你的算学真好，总有九十几分、一百分。”
王：“我的地理不及格，下学期一开学就得补考，这个暑假玩也玩不痛快了。”
李：“地理！很容易！”
王：“你自然觉得容易呀，我真不行，看起地理来，总觉得死板板的，一点儿趣味没有，无论勉强看了多少次，总是记不完全。”
李：“你的悟性好，所以记忆力不行，我呆记东西倒还容易，要想解算学题，那真难极了，简直不知道从哪里想起。”
王：“所以，我主张文科和理科一定要分开，喜欢哪一科就专弄那一科，既能专心，也免得白费力气去弄些毫无趣味、不相干的东西。”
李大成虽没有回答，但好像默认了这个意见。坐在教员休息室里，懒洋洋地看着报纸的算学教师马先生听见了他们谈话的内容。他们在班上都算是用功的，马先生对他们也有相当的好感，因此想对他们的意见加以纠正，便叫他们到休息室里，面带微笑问李大成：“你对于王有道的主张有什么意见？”
由于马先生这一问，李大成直觉地感到马先生一定不赞同王有道的意见，但他并没有领会到什么理由，因而踌躇了一阵回答道：“我觉得这样更便当些。”
马先生微微摇了摇头，表示不同意：“便当？也许你们这时年轻，在学校里的时候觉得便当，要是照你们的意见去做，将来就会感到大大地不便当了。你们要知道，初中的课程这样规定，是经过了若干年的经验和若干专家的研究的。各科所教的都是做一个现代人不可缺少的常识，不但是人人必需，也是人人能领受的……”
虽然李大成和王有道平日对于马先生的学识和耐心教导很是敬仰，但对这“人人必需”和“人人能领受”却很怀疑。不过两人的怀疑略有不同，王有道认为地理就不是人人必需；而李大成却认为算学不是人人能领受。当他们听了马先生的话后，各自的脸上都露出了不以为然的神情。
马先生接着对他们说：“我知道你们不会相信我的话。王有道，是不是？你一定以为地理就不是必需的。”
王有道望一望马先生，不回答。
“但是你只要问李大成，他就不这么想。照你对于地理的看法，李大成就可说算学不是必需的。你试说说为什么人人必需要学算学？”
王有道不假思索地回答：“一来我们日常生活离不开数量的计算，二来它可以训练我们，使我们变得更聪明。”
马先生点头微笑说：“你这话有一半对，也有一半不对。点，你说因为日常生活离不开数量的计算，所以算学是必需的。这话自然很对，但看法也有深浅不同。从深处说，恐怕不但是对于算学没有兴趣的人不肯承认，就是与你同一程度的人也不能完全认识。我们姑且丢开，就浅处说，自然买油、买米都用得到它，不过中国人靠一个算盘，懂得‘小九九’，就活了几千年，何必要学代数呢？平日买油、买米哪里用得到解方程式？我承认你的话是对的，不过同样的看法，地理也是人人必需的。从深处说，我们姑且也丢开，就只从浅处说。你总承认做现代的人，每天都要读新闻，倘若你没有充足的地理知识，你读了新闻，能够真懂得吗？阿比西尼亚在什么地方？为什么意大利一定要征服它？为什么意大利起初打阿比西尼亚的时候，许多国家要对它施以经济的制裁，到它居然征服了阿比西尼亚的时候，大家又把制裁取消？再说，对于中国的处境，你们平日都很关切，但是所谓国难的构成，与地理的关系也不少，所以真要深切地认识中国处境的危迫，没有地理知识是不行的。
“至于第二点，‘算学可以训练我们，使我们变得更聪明’，这话只有前一半是对的，后一半却是一种误解。所谓训练我们，只是我们养成一些做学问和事业的良好习惯：如注意力要集中，要始终如一，要不苟且，要有耐性，要有秩序等等。这些习惯，本来人人都可以养成，不过需要有训练的机会，学算学就是把这种机会给了我们。但切不可误解了，以为只是学算学有这样的机会。学地理又何尝没有这样的机会呢？各种科学都是建立在科学方法上的，只是探索的对象不同。算学是科学，地理也是科学，只要把它当成一件事做，认认真真地学习，上面所说的各种习惯都可以养成。只有说到使人变得聪明，一般人确实有这样的误解，以为只有学算学能够做到。其实，学算学也不能够使人变得聪明。一个人初学算学的时候，思索一个题目的解法非常困难，学得越多，思索起来越容易，这固然是事实，一般人便以为这是更聪明了，其实这只是表面的看法，不过是逐渐熟练的结果，并不是什么聪明。学地理的人，看地图和描地图的次数多了，提起笔来画一个中国地图的轮廓，形状大致可观，这不是初学地理的人能够做到的，也不是什么变得更聪明了。
“你们总承认在初中也闹什么文理分科是不妥当的吧！”马先生用这话来做结束。
对于这些议论王有道和李大成虽然不表示反对，但只认为是马先生鼓励他们对各科都要用功的话。因为他们觉得有些科目性质不相近，无法领受，与其白费力气，不如索性不学。尤其是李大成认为算学实在不是人人所能领受的，于是他向马先生提出这样的质问：“算学，我也知道人人必需，只是性质不相近，一个题目往往一两个小时做不出来，所以觉得还是把时间留给别的书好些。”
“这自然是如此，与其费了时间，毫无所得，不如做点儿别的。王有道看地理的时候，他一定觉得毫无兴味，看一两遍，时间费去了仍然记不住，倒不如多演算两个题目。但这都是偏见，学起来没有趣味，以及得不出什么结果，你们应当想，这不一定是科目的关系。至于性质不相近，不过是一种无可奈何的说明，人的脑细胞并没有分成学算学和学地理两种。据我看来，学起来不感兴趣，便常常不去亲近它，因此越来越觉得和它不能相近。至于学着不感兴趣，大概是不得其门而入的缘故，这是学习方法的问题。比如就地理说，现在是交通极发达、整个世界息息相通的时代，用报纸来做引导，我想，学起来不但津津有味，也更容易记住了。把地图、地理教科书和新闻对照起来读，不就活泼有生趣了。又如，中国参加世界运动会的选手的行程，不是从上海出发起，每到一处都有电报和通信来吗？若是一面读这种电报，一面用地图和地理教科书做参证，那么从中国到德国的这条路线，你就可以完全明了而且容易记牢了。用现时发生的事件来做线索去读地理，我想这正和读《西游记》一样。你读《西游记》不会觉得枯燥、无趣，读了以后，就知道从中国到印度在唐朝时要经过什么地方。——这只是举例的说法。‘随处留心皆学问’，这句话用到这里，再确切不过了。总之，读书不要太受教科书的束缚，那就不会枯燥无味，才可以得到鲜活的知识。”
王有道听了这话，脸上露出心领神会的气色，快活地问道：“那么，学校里教地理为什么要用一本死板的教科书呢？若是每次用一段新闻来讲不是更好吗？”
“这是理想的办法，但事实上有许多困难。地理也是一门科学，它有它的体系，新闻所记录的事件，并不是按照这体系发生的，所以不能用新闻做材料来教授。一切课程都是如此，教科书是有体系的基本知识，是经过提炼和组织的，所以是死板的，和字典、辞书一样。求活知识要以当前所遇见的事象做线索，而用教科书做参证。”
李大成原是对地理有兴趣而且成绩很好，听到马先生这番议论，不觉心花怒发，但同时却起了一个疑问：他感到困难的算学，照马先生的说法，自然是人人必需，无可否认的了，但怎样才是人人能领受的呢？怎样可以用活的事象做线索去学习呢？难道碰见一个龟鹤算的题目，硬要去捉些乌龟、白鹤摆来看吗？并且这样的呆事，他也曾经做过，但是一无所得。他计算“大小二数的和是三十，差是四，求二数”这个题目的时候，曾经用三十个铜板放在桌上来试验。先将四个铜板拿在左手里，然后两手同时从桌上把剩下的铜板一个一个地拿到手里。到拿完时，左手是十七个，右手是十三个，因而他知道大数是十七，小数是十三。但他不能从这试验中写出算式（30-4）÷2=13和13 4=17来。他不知道这位被同学们称为“马浪荡”并且颇受尊敬的马先生对学习地理的意见是非常好的，他正教着他们代数，为什么没有同样的方法指导他们呢？
于是他向马先生提出了这个质问：“地理，这样学习，自然人人可以领受了，难道算学也可以这样学吗？”
“可以，可以！”马先生毫不踌躇地回答，“不过内在相同，情形各异罢了。我近正在思索这种方法，已经略有所得。好！就让我来和你们做次试验吧！今天我们谈话的时间很久了，好在你们和我一样，暑假中都不到什么地方去，以后我们每天来谈一次。我觉得学算学需弄清楚算术，所以我现在注意的全是学习解算术问题的方法。算术的根底打得好，对算学自然有兴趣，进一步去学代数、几何也就不难了。”
从这次谈话的第二天起，王有道和李大成还约了几个同学每天来听马先生讲课。后文便是李大成的笔记，经过他和王有道的斟酌而修正过的。
点评：作者通过马先生、李大成（地理好、数学不好）和王有道（数学好、地理不好）的对话，讨论文理分科是否好，学生只学自己喜欢的科目对不对，如何将学生从不喜欢引领到喜欢，关键在于把科目知识点和生活联系起来。
二、怎样具体地表示数量以及两个数量间的关系
学习一种东西，首先要端正学习态度。现在一般人学习，只是用耳朵听先生讲，把讲的牢牢记住；用眼睛看先生写，用手照抄下来，也牢牢记住。这正如拿着口袋到米店去买米，付了钱，让别人将米倒在口袋里，自己背回家就完事大吉一样。把一口袋米放在家里，肚子就不会饿了吗？买米的目的，是为了把它做成饭，吃到肚里，将饭消化了，吸收生理上所需要的，将不需要的污秽排泄。所以饭得自己煮，自己吃，自己消化，养料得自己吸收，污秽得自己排。就算买的是饭，饭是别人喂到嘴里去的，但进嘴以后的一切工作只有靠自己了。学校的先生所能给予学生的只是生米和煮饭的方法，多是饭，喂到嘴里的事就要靠学生自己了。所以学习是要把先生所给的米变成饭，自己嚼，自己消化，自己吸收，自己排泄。书要成一本教科书，有必不可少的材料，先生给学生讲课也有不少话，正如米要成米有必不可少的成分一样，但对于学生不是全有用场，所以读书有些是用不到记的，正如吃饭有些要排出来一样。
上面说的是学习态度的基本——自己消化、吸收、排泄。怎样消化、吸收、排泄呢？学习和研究这两个词，大多数人都在乱用。读一篇小说，就是在研究文学，这是错的。不过学习和研究的态度应当一样。研究应当依照科学方法，学习也应当依照科学方法。所谓科学方法，就是从观察和实验收集材料，加以分析、综合整理。学习也应当如此。要明了“的”字的用法，必须先留心各式各样含有“的”字的句子，然后比较、分析……
算学，就初等范围内说，离不开数和量，而数和量都是抽象的，两条板凳和三支笔是具体的，“两条”“三支”以及“两”和“三”全是抽象的。抽象的，按理说是无法观察和实验的。然而为了学习，我们无妨开一个方便法门，将它具体化。昨天我四岁的小女儿跑来向我要五个铜板，我忽然想到测试她认识数量的能力，先只给她三个。她说只有三个，我便问她还差几个。于是她把左手的五指伸出来，右手将左手的中指、无名指和小指捏住，看了看，说差两个。这就是数量具体表示的方便法门。这方便法门，不仅是小孩子学习算学的基础，也是人类建立全部算学的基础，我们所用的不是十进制数吗？
用指头代替铜板，当然也可以用指头代替人、马、牛，然而指头只有十根，而且分属于两只手，所以步就由用两只手进化到用一只手，将指头屈伸着或做种种形象以表示数。不过数大了仍旧不便。好在人是吃饭的动物，这点聪明还有，于是进化到用笔涂点子来代替手指，到这一步自然能表示的数更多了。不过点子太多也难一目了然，而且在表示数和数的关系时更不便当。因为这样，有必要将它改良。
既然可以用“点”来作具体地表示数的方便法门，当然也可以用线段来代替“点”。严格地说，画在纸上，“点”和线段其实是一样的。用线段来表示数量，步很容易想到这两种形式：―，‖，……和∣，‖，……这和“点”一样不便当，应该再加以改良。第二步，何妨将这些线段连结成为一条长的线段，成为竖的
或横的呢？本来用多长的线段表示1，这是个人的
自由，任何法律也无法禁止。所以只要在纸上画一条长线段，再在这线段上随便作一点算是起点零，再从这起点零起，依次取等长的线段便得1，2，3，4……