七巧板中的数学
如果谁不知道正方形的对角线和边是不可通约的量，那他就不值得人的称号。
——柏拉图
生活中数学无处不在，但有些时候我们的解题技巧却脱离了生活实际。以著名的“鸡兔同笼”问题为例，我在给孩子讲这个问题时，他不解地问道：“鸡头和兔头不一样，直接数一下有多少只鸡和兔子不就行了吗？”确实，生活中有谁会用“鸡兔同笼”的算法来算鸡和兔的数量呢？
不过，古往今来，人们在生活中发明了很多好玩的益智玩具，只要好好利用起来，也可以像“鸡兔同笼”问题一样训练孩子的数学思维。
DIY 七巧板
七巧板是儿童的益智玩具，是我国古代劳动人民的发明，明清时期在民间广为流传。清《冷庐杂识》云：“近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余。体物肖形，随手变幻。”
几年前，昍突然想玩七巧板。可是家里没有，我们只能动手做一个。DIY 七巧板不是那么简单的任务，需要一点数学知识的帮助。
我们的任务是：如何用一张A4 纸裁剪出七巧板呢？孩子的反应是用直尺量，但这属于工程的做法。我附加了一个条件：只能用折叠和裁剪的方式，不能用直尺量（有点儿尺规作图的感觉）。虽然这个问题对于孩子来说有些复杂，但是他通过思考实践，可以让思维方式得到很好的锻炼，特别是理解数学的严谨性。下图是我们剪裁的基本步骤。
在裁剪过程中，难的是第4 步，即把一个等腰三角形沿着中位线折叠。孩子在尝试这一步的时候，出现了多次如下图所示的随意折叠，完全缺乏数学应有的严谨。
精确地折叠需要一定的诀窍。如下图所示的三角形，可以先标出BC 的中点D，然后将A 点和D 点重合进行折叠，或者先分别折叠出AB 和AC 的中点E、F，然后沿着EF 折叠。这一看似简单的操作，实则蕴含着对几何数量关系的理解。
七巧板的形与数量关系
把纸折叠之后，涂上颜色，我们便得到了下图的七巧板。为了方便，我们用数字把每一块都编上号。
然后，引导孩子思考几个面积问题：
第①块是第③块的多少倍？
第④块是第③块的多少倍？
第④块和第⑥块哪个大？
第④块和第⑦块哪个大？
第⑥块和第⑦块哪个大？
第①块和第④块哪个大？
整个七巧板的正方形是第④块正方形的多少倍？
对于一个没有学过面积计算的孩子来说，他的反应是拿着两个图形去比对。如第2 个问题，孩子很容易将两个三角形拼成一个正方形，因此得出第④块是第③块的2 倍这一结论。但对于第5 个问题，直接比较第⑥块和第⑦块两个图形就不再奏效。拿着两块着实比较了好一会儿，仍然无果。
偶然一个机会，他发现⑦可以由③和⑤拼成，而⑥同样也可以由③和⑤拼成，这就得出了第⑥块和第⑦块同样大的结论。这是一个转折点，以此为基础，他发现七巧板中的任何一块，都可以由若干个第③块（小的单元）组成，进而可以据此计算各块之间的数量关系。
好！到达后一题，整个正方形是第④块正方形的多少倍？按照上面的方法，将每一块都表示为若干个第③块的组合，就得到下面的推导：
① = ② = 4× ③
④ = ⑥ = ⑦ = 2× ③
⑤ = ③
因此， 整个正方形的面积为16× ③， 而正方形④ 的面积为2× ③，从而大正方形的面积是第④个正方形的8 倍。
事实上，这一做法蕴含着可公度的原始思想，即把两个不同的图形用一个更小的图形来度量。
七巧板与次数学危机
至此，我们对七巧板面积问题的讨论基本结束。高年级学过有理数且善于观察的学生，会提出这样的问题：如果一个大正方形的面积是一个小正方形的8 倍，那么大正方形的边长是小正方形边长的几倍呢？
类似这一看起来平常的问题，曾在公元前5 世纪的希腊引发了数学领域的巨震，并引发历史上次数学危机。毕达哥拉斯是古希腊的大数学家，缔造了一个政治、学术、宗教三位一体的神秘主义派别——毕达哥拉斯学派。由毕达哥拉斯提出的著名命题“万物皆数”是该学派的哲学基石：数的元素就是万物的元素，世界是由数组成的，世界上的一切没有不可以用数来表示的，数本身就是世界的秩序。而“一切数均可表示成整数或整数之比”则是这一学派的数学信仰。
但是，毕达哥拉斯学派中的希伯索斯a 发现，一个正方形的对角线与其一边的长度是不可公度的（即若正方形的边长为1，则对角线的长不是一个有理数）。
如果回到那个年代，我们就会发现这个现在看来理所当然的结果在当时有多么石破天惊！事实上，如果现在的小学生善于思考，也会有这一发现。所以，不要小看生活中的数学，影响数学发展历史的契机或许就隐藏在其中。
证明正方形对角线与边长之比非有理数其实很简单，这是一道集反证法、互素和奇偶性于一体的绝佳练习题。假定对角线c 与边长a 之比c/a=p/q
为有理数（其中，p、q 互素），那么，根据勾股定理：
c2 = a2 a2 = 2a2，将c/a=p/q
代入后得：p2 = 2q2。由此可得p 为偶数，设
p = 2t（t 为自然数），则p2 = 4t2 = 2q2，可得q2 = 2t2，从而q 亦为偶数。
这与假设p、q 互素矛盾。
这一不可公度的发现使毕达哥拉斯学派的领导人十分惶恐，他认为这将动摇他们在学术界的统治地位，于是极力封锁该真理的流传。
希伯索斯被迫流亡他乡，不幸的是，他在一条海船上遇到两个毕氏门徒，被他们残忍地杀害。
与哥白尼的“日心说”类似，科学史上很多真理的发现常常充满悲剧色彩。希伯索斯的发现，次向人们揭示了有理数系的缺陷，证明了它不能同连续的无限直线等同看待，有理数并没有布满数轴上的点，在数轴上存在着不能用有理数表示的“孔隙”。“不可公度量”的发现与“芝诺悖论”一同被称为数学史上的次数学危机，对以后的数学发展产生了深远的影响，促使人们从依靠直觉、经验而转向依靠证明，并且推动了几何学公理和逻辑学的发展。