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数学天堂:柏拉图理想主义
个尝试解答这个问题的仍是古希腊人,但他们给出的答案并不是不可推翻的终极答案,因为我们已经走出了纯粹的数学世界。在数学世界中,只要证明或定理阐述合理,就一定会被普遍接受。
我们现在所涉及的领域被称为“数学哲学”——即使称其为“关于数学的哲学”会更为准确。数学哲学试图把数学的方方面面整合在一起并将其当作一个整体来解释,因而是数学之外的领域。然而,这个答案仍然举足轻重,因为它次对数学对象、数学实体及数学真理的来源与性质做出了回答。正是通过这一回答,我们得以确定立场,选择拒绝、反驳这一理论,或对其进行进一步的确认或延伸。简而言之,在数学领域,我们仍然生活在柏拉图(Plato,前427—前347)的世界里!
柏拉图无疑是古希腊zui重要的两位哲学家之一——另一位是他的弟子亚里士多德(Aristotle,前384—前322)——事实上,正是柏拉图确定了在他之后的几个世纪里一直占有主导地位的数学理念,并且这一理念至今仍被许多研究这一问题的现代思想家所认同。
柏拉图的学说是纯思辨的、形而上学[ 形而上学(Metaphysics),是指研究存在和事物本质的学问。形而上学是哲学研究中的一个范畴,被视为“哲学”和“哲学的基本问题”。它是人类理性对于事物zui普遍的面相和终极原因的探索的一门学科。]的,受当时的宗教与哲学精神的影响。虽然这种学说在哲学层面上存在争议,但它却是在一种相当清晰的理念之上建立的,而且这个理念还与数学的本质有关。虽然这位哲学家对数学史本身的贡献可以说是微不足道,但他知道自己所言为何。
“不懂几何者不得入内”:柏拉图与数学

柏拉图将数学奉为终极真理,而且是终极的真理。他在雅典创办了一所学院,并让人在学院的三角楣上刻下“不懂几何者不得入内”。在古希腊,几何学是所有数学学科的皇后和典范。但柏拉图本人是一名伟大的数学家吗?不论答案肯定与否,总之,他没有在作品中留下令人印象深刻的定理或证明,尽管其作品具有重要的地位。有一类多面体被称为“柏拉图立体”,它们的所有面和角都相等,是世上仅有的 5 种正多面体,即正四面体(有 4 个面,形如金字塔,但底面不是正方形而是与其他三个面大小相等的三角形)、正六面体(有6 个面,就是一个立方体)、正八面体(有 8 个面,看起来像是正方形底面相接的两个金字塔)、正十二面体(有 12 个五边形的面)和正二十面体(有 20 个三角形的面)。人们错误地认为柏拉图是“柏拉图立体之父”,但这些立体并不是由柏拉图发现或定义的:至少在他那个时代的 1000 年前,它们就已经为人所知了。不过,指出“柏拉图立体”就是所有的对称或规则多面体,不存在也不可能存在其他正多面体的却是与柏拉图生活在同一时代的泰阿泰德(Théétète),这个名字也被柏拉图用来命名一篇关于科学的对话录。而关于“柏拉图立体”,柏拉图只是在另一篇对话录《蒂迈欧篇》中传播了泰阿泰德的发现。在这篇对话录中,他将泰阿泰德描述的五种立体图形与四元素相联系,还把zui后一种(正二十面体)同整个宇宙联系起来。由此看来,与其说柏拉图是数学家,倒更像是科学诞生之前的形而上学家。
相反,柏拉图的学生,尼多斯的欧多克索斯(Eudoxus,约前400—约前 347)却在整个古代数学史上占有重要的地位。欧多克索斯与亚里士多德是同一时代的人,其主要成就是建立了所谓的“穷竭法”。

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