第16章
书中那些圆圆圈圈
在一个鸡尾酒会上，我举着酒杯，一边和别人小声聊天，一边注视着美味的奶酪，一切都令人十分愉快，直到有人问起我的职业。如果只看对方的面部反应，你可能会怀疑他听到的是“我就职于一个犯罪集团”，或是“我是个腐败的法官”，又或是“我是来自未来世界的时间旅行者，这次回来的任务是杀死酒会上的所有人，以阻止世界末日来临”。
事实上，我说的是，“我是一个数学老师”。
好啦，我懂了。在我和其他教数学的同事们眼中，我们的学科是可爱的。但是，当我说到“圆”这个词时，很少有学生会想到约翰·多恩的诗句（你坚定，我的圆圈才会准，我才会终结在开始的地点），或者布莱斯·帕斯卡对宇宙的看法（自然是一个无穷的球体，它的圆心无处不在，而其圆周却无处可寻）。相反，他们的大脑会机械地浮现出只记得一半的公式、课本里的练习题，以及无意识地记下的圆周率小数点后的几位数字。
我觉得自己有必要捍卫数学的荣誉，证明它属于著名的思维维恩图中重叠的那部分。所以我做了任何处在我这种境况下的人都会做的事：像老鼠偷食一样，以迅雷不及掩耳之势，从那一桌开胃小菜里抓起一小块食物——一片腌黄瓜。
“这片黄瓜的面积是多少？”我问。
有个人皱着眉说：“这可真是个奇怪的问题。”
“你说得没错！”我大声回答道，“这个问题之所以奇怪，是因为面积是用小小的正方形来定义的——平方英寸、平方厘米，甚至平方毫米……都是小正方形——而这块圆形的腌黄瓜却不能再被细分成正方形，弯曲的边缘让它的面积变得难以测量和计算。那么，我们要怎么做才能知道它的面积呢？”此时，我挥舞了一下手中的餐刀，这一动作很可能会把我的同事吓跑。
好在我还算幸运，他们明白了我的意思。
“啊，”他们说，“我们可以把它切成片。”
于是，我们用餐刀把这片黄瓜切成了8 个小楔形。经过重新排列，它们组成了一个面积与原来的圆形完全相等的新形状。
“它看起来很像一个矩形，”有人说，“求矩形的面积很容易，用长乘以高就可以了。”
“那么长度和高度分别是多少呢？”我继续问。
“嗯，长嘛，一定是黄瓜片周长的一半。而高度，嗯，是黄瓜片的半径。”
“现在，问题解决了吗？”
“不，还没有，”他们说，“它不是一个真正的矩形，它的长边不是直的，是躁动不安的。”
我补充道：“我有个更好的形容词，‘起伏不平’，所以我们该怎么办？”
专注地思考了片刻，我们拿起另一片腌黄瓜，然后把它切成了24 个更细的楔形。经过艰难的重新排列，它们组成了一个类似刚才的形状，除了长边稍微少了点儿“躁动”，稍平了一些。酒会上的其他客人则用他们那带着敬畏和钦佩的表情看着我们，也可能是怜悯和厌恶的表情——我是分辨不出这两者的区别。
“现在它更接近矩形了！”我的搭档说，“但依然不是一个真正的矩形。”
我们再次拿起一片腌黄瓜，把它切得更细了。
“这下它是矩形了吗？”我问。
只听一声叹息：“没有。它的上下两条边依然是起伏不平的。尽管起伏幅度非常微小，但依然存在。”
我补充道：“我有个更好的形容词，‘微乎其微’。”
“我们需要把黄瓜片切成无数个楔形，并且要保证每个楔形都是无穷小的。这是将它变成矩形的方法，但是……这是不可能做到的，”他们迟疑地说，“不是吗？”
无论这对我们来说是否可能，在24 个世纪前，一位名叫欧多克斯（Eudoxus）的数学家在现在的土耳其做到了。我们将他的方法称作“穷竭法”（method of exhaustion），不是因为它需要你竭尽心力，而是因为某种差距会在使用这个方法的过程中逐渐被消除或“穷竭”（exhausted）。在这里，这个差距就是长边起伏不平的矩形和长边平直的完美矩形之间的差距。按照这个逻辑不断地推进下去，我们会发现，圆的面积和矩形的面积是一样的，正好等于半径和周长的一半的乘积。
或者，你可能更喜欢用等式来表示：面积= 周长/2× 半径。
就在这场鸡尾酒会的餐巾上，积分学的小苗萌芽了。首先，把一个令人头疼的物体分解成无穷小的碎片，每一片都非常非常小；然后将这些小碎片重新排列，组成更简单、更令人愉悦的集合；接下来，根据这个重新排列的组合，得出关于原始对象的结论……以上这些步骤形成了积分学的模板和蓝图。
聊到这里时，可能和我聊天的那些朋友已经把酒喝完了。这很正常。
接下来，我们会互相点头，交换名片，然后就不再说什么了。我想这就是交换名片的含义：双方心照不宣的“再也不见”的信号。
当然，也有可能他们的好奇心会被激起。如果是这样，他们就会重新把杯子斟满；我又往口袋里塞了几块奶酪。然后深吸一口气之后，我们又回到了关于数学的讨论中。
“这个公式看起来很酷，”他们说，“但并不是我在学校里记的那个公式。”
“因为这个公式是在用周长来表示面积，”我说，“不过我们目前还没有找到周长本身的表示方式。”
“那么……我们怎样才能找到呢？”
首先，请跟着我一起来个简短的历史之旅。在中国古代，有一本基础数学专著叫作《九章算术》。我感觉这个书名对数学来说太平淡无奇了，瞧瞧其他的中国古代的数学著作，叫的都是《梦溪笔谈》《四元玉鉴》这类的名字。经过几个世纪的编纂，《九章算术》涵盖了从算术到几何再到矩阵运算等内容，堪称一部具备了无与伦比的深度和完整性的“数学圣经”。
不过，这本书有一个缺点，就是书中提供了非常多的解题方法，但却没有任何对数学概念的解释，以及推导和证明过程。在我看来，这是糟糕的教材编写方式。
而这正是魏晋时期数学家刘徽事业的切入点，虽然《九章算术》不是他写的，但他为它做了注解，这与J. K.罗琳笔下的“混血王子”在魔药书做注释的行为相似。这是一个聪明的读者，他通过给落满灰尘的旧书添加注解，为其注入了新的生命。
《九章算术》中回避了圆的周长问题，但刘徽不是个避重就轻的人。按照他的计算方法，我从水果台上抓起一把牙签，然后用它们在黄瓜片的横切面上摆了一个三角形，如下图所示：
“瞧！”我宣布，“这就是圆的周长！”
我的同事扬起眉毛，一脸疑惑。
“三角形的每条边都是圆的直径的2/√3倍，”我解释道，“因此，整个周长是直径的3√3/2 倍，也可以说大约是2.6倍。”
“但那是三角形的周长，”他们回答道，“不是圆形的。”
“你说得没错，”我说，“但是谁能测量曲线的长度呢？我们只能通过直线来计算近似值呀。”
“好吧，如果你这么不严谨的话，”他们皱着眉头说，“那好还是放弃这种数学难题吧。”我没有直接回应，而是快速地重新排列了牙签，使三角形的边数加倍，从3 条边增加到6 条边，如下图所示：
“看看这个正六边形！”我说，“它的周长是直径的3 倍。这就是黄瓜片的真实周长，对吗？”
还差得远呢，现在我们不过是重现了《九章算术》中的估算过程。请和我一起，继续跟随刘徽的脚步，通过更多的“咔嚓”（掰断牙签的声音）和重新排列，得到了一个正十二边形：
经过在餐巾背面打草稿计算，终得出正十二边形的周长是圆直径的（ 3√6－3√2）倍，也可以说大约是3.11 倍。
更接近圆了，但这仍然不是圆的周长，并不完全准确。
刘徽在《九章算术注》中写道：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣。”这个过程永远不会真正结束，但它会向真理靠拢。牙签断裂成越来越小的碎片；在永恒尽头的某个地方，这个过程以无数个碎片的形态结束，每一个碎片都是无穷小的，而它们的总和就是这个圆的周长。
刘徽计算到正192 边形。南北朝时期的数学家祖冲之则更进一步，计算到正3072 边形，他得到的估算结果已经相当准确了，领先了其他国家1 000多年。祖冲之估算的圆的周长是，直径乘以3.1415926。
这个数听起来是不是很熟悉？
对今天的圆周率爱好者们来说，每年的“圆周率日”，以及背诵圆周率小数点后几百位数字的活动，已经不是什么新鲜事儿。15 世纪，印度和波斯的学者运用积分学的基本原理，将圆周率精确地计算到小数点后第15 位。
19 世纪，坚持不懈的威廉·尚克斯（William Shanks）花了10 年时间将圆周率计算到小数点后第707 位，其中前527 位是正确的。今天，超级计算机早已将圆周率精确到万亿位；如果把这些数字打印出来装订成册，那它的规模将堪比哈佛大学的图书馆——和很多人眼中的图书馆一样枯燥乏味。
在圆周率这个问题上，有无数的数字在前面等着我们，我们从未像现在这样接近终点。然而，就算知道了这些新的数字也毫无意义，因为我们几乎永远不会用到后50 位、60 位，甚至100 位小数。那么，我们为什么要在圆周率上面耗费那么多精力呢？
在我看来，原因很简单。人类会看，会思考，也试图去测量。圆的周长是我们现实生活中的一个特征常数，就像地球的质量、地球到月球的距离，或是银河系中的恒星数量。事实上，圆周率比这些数字更加稳定，因为圆周率不会随时间波动，是逻辑宇宙中的一个固定常数。波兰女诗人、诺贝尔文学奖得主维斯拉瓦·辛波斯卡（Wislawa Szymborska）曾写过一首诗赞美圆周率：“组成圆周率的数字列队行进逶迤……越过墙壁、树叶、鸟巢、云霓，直上九霄，穿过广袤无垠的天际……”
古代的数学家们把圆分成无数个小碎片，每个碎片都是无穷小的。他们这样做是为了更好地了解整体，即从碎片求面积，从碎片求周长。回望历史的进程，我们可以看出这些古老的努力意味着什么：积分学的黎明到来了。
我把这本书中积分学的部分命名为“永恒”，主要是因为它和“瞬间”搭配在一起显得富有诗意。如果你喜欢，也可以把这些“瞬间＋永恒”的完整故事称为“史诗”“全集”或“海洋”，等等。
聊到这里，我的交谈对象向下扫了一眼。我跟着他的目光，看到地毯上撒满了一截截的牙签和黄瓜碎片。“我们是不是该把这里清理干净？”我说。但是我的话音刚落，这位朋友就转身离开了，只留下一丝痕迹——它悄无声息地溜进我的手中，直到这时，我才注意到那是一张名片。