数学家眼里的真善美与恶
本章标题让人摸不着头脑：数学里的善与恶。数学这门学科难道不是应该讨论形式化和抽象的世界吗？从定义上讲数学难道不是一个不问世事、无视道德的智力活动吗？事实上并没有那么简单。别忘了原子弹的发明者正是20世纪伟大的数学家之一约翰•冯•诺依曼。后来，原子弹之父中的另一位罗伯特•奥本海默表示懊悔，声称物理学家在第二次世界大战中“犯下罪行”。冯•诺依曼只回了一句：“有时候人们忏悔罪行，只是为了自抬身价。”数学家也难逃良心的拷问。如果一个数学家躺在心理咨询师的长沙发上，他会说些什么呢？让我们来探问一下他们的心灵和伦理吧。
对真理的追寻
在数学里，证明如何确立的原则排除了权威施加的影响。在这个领域里，有时候学生会比老师更有理，后者却无路可走。对证明的严苛要求无人可以例外，不需要法官出面来担保。所以，数学从本质上说就自带伦理。钻研数学让我们习惯于某种智识上的正直，这并不代表不会出现错误。相反，出错的单子长得看不到头……
举个例子，1879年，阿尔弗雷德•肯普（Alfred Kempe，1849—1922）发表了四色定理证明：用四种颜色就能为一张地图涂色（具有共同边界的国家必须涂上不同的颜色）。十一年后，肯普的证明被驳倒，四色定理直到1976年才被证明。虽然如此，我们还是应该向肯普致敬，因为1976年证明所需要的所有论据都来自肯普的证明。还有个离我们更近点的例子，怀尔斯针对费马定理所作的个证明里有一个错误，其他数学家（其中包括理查德•泰勒）经过一年的研究和努力改正了它。这些历史上的失败者并没有改变这一本质：在数学里，当允许确立证明正确与否的规则被打破，那只是因为失误，而非因为弄虚作假。
精神分裂
然而，这条伦理规范只适用于数学本身。它并不能确保数学家对其同行也如此，更遑论全人类。当然，我们无法在数学上弄虚作假，我们必须找到正确的思路……但这仅仅局限在数学王国的高墙之内。举个例子，有些数学家，如奥斯瓦尔德•泰希米勒（Oswald Teichmüller，1913—1943），在数学上堪称典范，却是犯下累累罪行的纳粹分子，甚至不惜为纳粹的理念而战斗至死。
有些数学家没有一意孤行，走上绝路，但他们的所作所为仍然令人皱眉——有人将他人的理论和研究据为己有，还有数学家封杀同行的职业生涯。对此感兴趣的读者可以读读格罗滕迪克的回忆录《收获与播种》。
在军事应用方面，数学家所处的位置比化学家、物理学家或生物学家更敏感。数学家很少能决定自己的研究成果派什么用场，这些成果从实验室出来就脱离了他们的掌控。就好像圆锥曲线之父阿波罗尼乌斯怎么能想得到，他所研究的抛物线有一天被用于校准炮弹的弹道？面对这个难以预测的风险，亚历山大•格罗滕迪克采取了一种的姿态。为避免自己的成果被用于军事目的，他告别了数学研究。
戈弗雷•哈代（Godfrey Hardy，1877—1947）无疑是个经历了恐怖的一战后明白无误地提出数学伦理问题的大数学家。像当时的许多知识分子一样，他认为科学和数学也要为悲剧负上一部分责任。这种质疑似乎直指应用学科，比如发明炸药的化学或后来发明核弹和氢弹的物理学。相较之下，数学显得温文尔雅、与人为善！但正是数学家制作出了在战场上校准炮弹发射的表格。
女性主义者和和平主义者让娜•亚历山大在1916年发表的一篇文章里写道：“如今真正在战争里对战的敌人，其实是在书桌上埋头演算的数学教授，以及在实验室里辛勤工作的物理学家和化学家。”1917年兼任战争大臣的数学家保罗•潘勒卫（Paul Painleve）在胜利后的一次演讲里表示：“抽象或精妙的数学解决了定位问题，制作了全新的发射表格，使炮兵部队的效率增加了25%。”
很难知道，一战里的士兵是否清楚那些白领刽子手所扮演的角色。也许有文化的那些人已经心知肚明了。无论如何，在一个世纪的时间内，拿破仑将军的炮灰从某种意义上变成了数学家保罗•潘勒卫的方程下的冤魂。
该采取何种姿态？
在二战初期写的《数学家颂》里，哈代将数学分为两类。类数学，他认为既无聊又琐碎，会导向一些或好或坏的应用。道德准则要求他尽量避免这类数学。在他看来，真正的数学家是不会危害人类的。他将纯数学与应用数学对立起来，言下之意是后者并不纯粹。在这本书里，我们还看到了一句话，在如今看来相当惊人：“还没有人将数论或相对论运用到军事项目上，将来也未必有人会这么做。”
五年后在广岛爆炸的原子弹否定了哈代的其中一个预测，因为相对论正是核能利用的关键。而密码学的算术方法，比如我们下文会介绍的RSA方法，证明他关于数论的另一个预测也失误了。没有人可以控制自己的研究成果未来会派什么用场，不论是数学还是其他领域都是如此。换句话说，纯数学根本不存在！
哈代的学生艾伦•图灵在战前专攻数学基础，没有继承老师的衣钵，而是成为了第二次世界大战中破译密码的关键人物……这些坐在书桌前的男人和女人所做的工作加速了纳粹的覆灭，就像德怀特•艾森豪威尔在提及图灵带领的对付德国海军的布莱切利园团队时说的：“你们收集到的情报拯救了数千英国人和美国人的生命，你们为加速敌军溃败和投降做出了巨大贡献。”
图灵出名的事迹是破译了德国密码机恩尼格玛的密电。但是这台密码机次被破译其实要追溯到20世纪30年代。我们不知道的是，这一成功还有法国间谍活动的功劳，法国情报机构在1931年到1938年提供了关键译码表，这都多亏了三位波兰数学家的天才智慧，其中就有马里安•雷耶夫斯基（Marian Rejewski，1905—1980），他因此还发现了一条群论定理。
原子弹
二战后，像冯•诺依曼这样的数学家参与曼哈顿计划、制造出原子弹的事实，又引发了强烈争议。冯•诺依曼的名言：“有时候人们忏悔一桩罪行，是为了自抬身价”说明他承担自己选择的后果，并且清楚数学在原子弹发明中的重要作用。与哈代相反，冯•诺依曼积极与军方合作，将博弈论确立为一门学科，构想出了冷战时期的恐怖平衡——“共同毁灭原则”（Mutually Assured Destruction，MAD），我们不知道首字母缩写是否出自他那非典型的幽默感（首字母缩写mad在英语里意为“疯狂的”）。
其他数学家，比如罗杰•戈德门特（Roger Godement，1921—2016）就不同意冯•诺依曼的看法，而与哈代站在一条战线上，但同时也指出哈代提出的纯数学与应用数学的区分根本不切实际。格罗滕迪克则走得更远，他在1970年从法国高等科学研究所辞职，因为他的部分研究工作收到了国防部的资助。他被聘为法兰西公学院的教授后，做出了一个自杀式的选择——开设一门课程专门探讨：“应该继续科学研究吗？”次年就被解聘。在他看来，科学整个都变得不纯粹了。
数学之美
“仿生人会梦见电子羊吗？”科幻小说家菲利普•K.迪克在同名小说中问道，后来小说被改编成了电影《银翼杀手》。精神分析学家也可以向数学家提出同样的问题：“你会梦到十维的羊吗？”数学家的想象，以及延伸出去的他们的审美观，都非常独特。哈代也持这种看法，他在《数学家颂》里写道：“数学家和画家或诗人一样，都是形象的创造者。数学家创造的形象，和画家或诗人创造的一样，都应该是美的。理念，与色彩或词语一样，应该和谐地组合在一起。美是个测试：这世界上没有丑陋数学的存身之地。”
当然，一个证明的首要品质是正确。然而，很少数学家会止步于此。古典的、浪漫派的或巴洛克的美学标准影响着数学家。所以，他们中的许多人都痴迷于一个公式的简洁优雅，或者相反，折服于其出其不意和神秘莫测，又或者为了一个证明的清晰明了和一个理论的深刻洞见所倾倒。
但数学的根本之美在别处。证明数学假设的需求为这一学科注入了一种美学的维度，因为这种需求迫使我们弄明白究竟为什么一个结果是正确的，督促我们找到背后隐藏的和谐。为清楚起见，让我们举个简单的例子：在一个等边三角形里，一个点到三条边的距离之和等于三角形的高。
如果你画得足够好，并且使用一把刻度尺，就会相信一个点到等边三角形三条边的距离之和并不取决于选择哪个点，所以等于三角形的高……当该点为其中一个顶点时也成立，所以有两段距离为零。但是相信并不是理解……