你无法通过告诉一个孩子什么是数来教他计数，而会向他展示出现数的事例：两条狗、两个苹果、两本书、……。他逐渐注意到，“二性”这种性质是所有这些例子所共有的。这样他便形成了“数”的概念。
数是集合的性质。有两个元素的是苹果或狗的集合，而不是任何个体的苹果或狗。我们计数的不是一个对象，而是对象的集合。数学家在思考究竟什么是数时，发现了这个事实。他们还意识到，说两个数何时相同要比说它们是什么更容易。
如果一个孩子有两只杯子，每只杯子都位于各自的杯碟上，那么某一时刻他会意识到，他必定也有两只杯碟。玩抢座位游戏时，如果有7位玩家和6个座位，就会有人没有座位。如果一位剧院经理看到剧院里的每个座位正好坐着一个人，他就知道人数和座位数完全相同。他无需知道有多少个座位就能知道这一点。
这意味着“相同的数”的概念并不依赖于“数”的概念。同样，你可以在不知道长度的情况下把两根绳子并排放置，以判断它们是否长度相同。或者，你可以用一个梁式天平来判断两个物体是否有相同的重量。在所有这三种情况下，说两个给定对象何时具有相同的性质，要比一般地说这种性质是什么更容易。你只需要知道如何就这种（尚未定义的）性质对对象进行比较。
就长度或重量而言，不难确定比较的方法。那么“数”呢？
让我们回到剧院座位上的人的例子。为了确保数完全相同，我们需要知道：
（1）每个人坐一个座位。
（2）每个座位坐一个人。
如果设S是座位的集合，P是人的集合，那么对于每个人p∈P，可以定义f（p）∈S为他所坐的座椅。于是，f：P→S是一个双射（一一对应）。首先，f符合我们对函数的定义：其定义域是P，目标域是S。由（1）可知，为p指定f（P）的规则是明确的。f是满射，因为由（2）可知，每个座位坐一个人；也是单射，因为同样由（2）可知，每个座位只坐一个人。
通常，当且仅当两个集合之间存在一个双射时，它们才有相同数目的元素。
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