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《给孩子的科技史》
用石头砸开坚果

绝大多数动物只能靠自己身体的一部分来获取食物,比如锋利的爪子、长长的舌头、灵活的触手,而人类却拥有“附加技能”——人类是仅有的几种能够使用工具的动物之一。
石器的出现,对人类的发展特别重要,它是人类创造力的产物。我们今天看那些石器,会觉得简单而粗糙,可那是人类当时仅有的工具,它帮助人类在和其他动物的竞争中胜出,并且让人类能做许多具有创造性的事情,比如剥兽皮制衣、获取兽骨、分食大型动物、砍树搭建住所,以及后来的耕作等。
早期,人类可能凑巧用石头砸开过坚果,或者打死了一些小动物,而随着时间的推进,人类越来越主动地使用石头来达到自己的目的,石头也逐渐成为一种简单的工具。过了很多代之后,人类发现石头上锋利的棱角可以划开动物的皮,还可以砍断小树,于是石头的用途变得更加广泛。又过了很多代之后,不知是谁,偶然发现摔碎的石头用起来更方便,于是聪明的人们开始把很大的石头摔碎,制造成自己需要的工具。今天,我们把这些人称为能人,意为能制造工具的人。
到了大约20万年前,石器的种类突然丰富起来,制作也更精良。那些石器的大小、形状和功能各不相同。
第一类被称为石核或石砍砸器,它最原始,个头也最大,作用有点像今天的锤子或者剁肉的刀。
第二类是刮制石器,它比较厚,形状千差万别,已经有相当锋利的刃,有点像我们今天用的菜刀,但一般尺寸比一个手掌要小一些,这就是我们祖先早期使用的刀和武器。
第三类是尖状石器,它是在刮制石器的基础上,用石核轻轻砸制形成的类似梭形、更小巧锋利的工具,有点像后来的匕首。
与漫长的人类历史相比,文明的历史可要短暂多了。如果用时间类比,将现代智人25万年左右的历史压缩在一年之中,那么直到这一年的12月15日,人类都还在使用石器。
在今天看来,石器虽简单而粗糙,但是在当时,可是名副其实的“高科技”,它仿佛黑夜中的曙光,预示着人类文明的诞生。而照亮人类前路的,正是火的使用。


《给孩子的数学课》
圆周率是怎么算出来的

圆是常见的形状,我们盛菜的盘子,汽车的轮子,甚至天上的太阳和月亮,都是圆的;圆又是特别的,它难以测量,不好计算,但古希腊著名学者毕达哥拉斯却认为,圆形是完美的。

人类从何时开始认识圆,今天已经无法考证了。不过早在苏美尔人统治美索不达米亚时期,他们就发明了轮子。由于圆周是弯曲的,不同于直线组成的长方形和三角形,所以圆的周长和面积都很不好计算。不过,在很多早期文明中,人们都发现,无论圆有多大或者多小,用圆的周长除以圆的直径,得到的都是一个基本固定的数值。因此人们便给这个神奇的数取了一个专有的名字,叫做圆周率。在很长的时间里,各国数学家用不同的符号表示这个数,有些人甚至用的是圆的周长除以半径的得数,但这样不便于交流。所以,到了18世纪,数学家们采用希腊字母π代表圆周率,这种习惯沿用至今。

一边是圆周弯曲的弧线,一边是我们容易测量的直线,要找到它们之间关系并不容易,需要用到很多数学知识,因此人类不断提高圆周率计算精度的过程,也正是数学发展的过程。

早期对圆周率的估算只能从经验出发,或者说,是靠测量。比如,在古埃及,人们将它近似为22/7≈ 3.143,而古印度人则用了一个更复杂的分数339/108 ≈ 3.139来表示。在其他的早期文明中,也都有关于对圆周率估算对记载。但是不同人测量的方法不同,得到的圆周率的值也各不相同。除了22/7这个比较简单的估值曾经被多个文明采用外,各个文明对圆周率的估值几乎没有重叠的。通过经验对圆周率进行估计,是人类计算这个值的第一个阶段。

在欧几里得建立起欧氏几何之后,人们发现,圆的周长介于它的内接多边形和外切多边形周长之间,而且,多边形的边越多,它的周长就越接近圆的周长,如图1所示。这是人们第一次不用经验,而靠数学的方法来计算圆周率的值。著名数学家阿基米德就用这种方法,通过计算边数非常多的内接多边形和外切多边形的周长,给出了圆周率的范围,即在223/71到22/7之间,大约在是3.1408和3.1429之间。因此,今天圆周率也被称为阿基米德常数。公元150年前后,著名天文学家托勒密给出了当时最准确的圆周率估计值3.1416。几百年后,祖冲之将这个常数的精度扩展到小数点后7位,即3.1415926~3.1415927。这是人类估算圆周率的第二个阶段,用几何的方法计算π。

14世纪之后,随着代数学的发展,数学家们能够解出比较复杂的二次方程,于是阿拉伯和欧洲数学家们不断增加内接和外切多边形的边数,圆周率估算的精度也不断提高。但是这个方法实在太复杂,比如1630年奥地利天文学家克里斯托夫·格里恩伯格在将圆周率计算到小数点后38位时,用了10^40个边的多边形。1040是一个巨大的数字,如果我们把地球上海洋里的水都变成一个个水滴,那么水滴的个数也只有这个数字的一亿亿分之一。可以想象,要想靠这种方式继续提高圆周率的精度,难度有多大。事实上,直到今天格里恩伯格依然是利用内接和外切多边形估算圆周率的世界纪录保持者。这倒不是因为今天无法再增加多边形的边数,而是没有必要,因为数学家们已经找到了更好的数学工具来估算圆周率——利用数列。

人类计算圆周率的第三个阶段是使用数列。在这个阶段,圆周率的计算被大大简化了。1593年,法国数学家维埃特发现:

根据这个公式,我们可以直接计算圆周率。这个连乘积中的每一因子到后来无限接近于1,多乘一个或少乘一个,只是影响估算的精度而已。如果想要获得更高的精度,只要多乘几项就好了。这种方法比用无数边的多边形容易多了。当然,在没有计算机时,开根号运算也不太容易。于是1655年,英国数学家约翰·沃利斯发现了一个不需要开根号的计算的公式:


π/2=(1/2×2/3)×(4/3×4/5)×(6/5×6/7)×……

利用这个公式,只要做一些简单的乘除计算,就可以得出π的值。

在牛顿和莱布尼茨发明了微积分之后,圆周率的计算就变得非常简单了,这便是圆周率计算的第四个阶段。牛顿用三角函数的反函数做了一个小练习,轻易地就讲将圆周率计算到小数点后15位。在此之后,很多数学家都把计算圆周率当做练手的工具,并且很轻松地就将它估算出几百位。现在,已经没有人把将圆周率多计算几位当做什么了不得的事情来看了,他们只是将它作为一种智力游戏来玩。

今天有了计算机,懂得编程的人可以用计算机轻而易举地将圆周率计算出任意有限位,这可以算是计算圆周率的第五个阶段。比如2002年,计算机将π算到了小数点后1万亿位。不过,需要指出的是,今天用电子计算机计算时,其算法仍然是基于微积分的。

可以说,人类估算圆周率的历史,就是数学发展史的一个缩影。最先是从直觉和经验出发估计圆周率,然后使用几何的办法计算它。当然,几何的方法比较复杂,后来人们终于找到了代数的方法、微积分的方法,这使得圆周率的计算越来越简单了。再往后,人类就学会使用计算机解决数学问题了。从这段历史,我们可以看到数学作为工具的作用——要想把事情做得更好,就需要更强大的数学工具。

了解了圆周率的发展史,你可能会好奇,为什么几千年来,人类要乐此不疲地计算圆周率呢?为什么不能简单地使用22/7这样的近似值替代小数点后无数位数的圆周率π呢?

简单地讲,使用数学理论解决实际问题,不仅要经常用到圆周率,而且对精度的要求特别高。比如,在近代的工业革命中,发明各种机械就离不开和圆相关的计算,大到火车,小到钟表的设计和制造,都需要准确计算圆周运动的速度和周期。在天文学上,我们计算地球自转和公转的周期,以及日月星辰的位置,也都要用到圆周率。如果我们在计算时使用的圆周率精准度不够,上述计算很可能失之毫厘,谬以千里。在现代科技领域,圆周率的应用更加广泛,比如,我们手机用的全球定位系统GPS,对圆周率精准度的要求就特别高。