1黎曼猜想—引无—数英雄竞折腰
席南华
如果要问一个数学家,在数学里面哪个问题有名,很可能你会听到的答案是:黎曼猜想.黎曼猜想有时称为黎曼假设,它是关于一个称为黎曼zeta函数的零点的断言.
所谓函数的零点,就是让函数取值为0的点,用方程的语言说就是这个函数的根,含义类似于多项式的根,如的零点就是x2.1=0的根1和.1;正弦函数sinx的零点就是,因为.要说清楚这个猜想和它的重要性,我们需要从整数中的素数说起.
1.1素数
经常遇到要把一群人平均分为若干组,若干数量的物品平均分配等这类事情.有时候这样的事情很容易做到,比如99个人平均分成9组;有时候这样的事情并不容易做到,比如8个苹果平均分给3个人.你很快就识别出这里问题的本质为一个数是否为另一个数的（整）倍数.现在你可能会想到我们每天的时间分成24小时,每小时分成60分钟是很智慧的设计:12小时是半天,6小时是四分之一天,30分钟是半小时,15分钟是一刻钟等.如果每天的时间分成23小时,每小时分成59分钟,那会带来很多的不便,极大增加日常生活和工作的复杂度.
在正整数里面,每个数当然是1的倍数,也是自身的倍数,常常还是一些其他数的倍数,比如刚才说到的99还是9和11的倍数,8还是2和4的倍数.但是也有很多的正整数,除了1和自身以外,不是任何其他正整数的倍数,如2,3,5,7,11,13,….这类数称为素数,也称为质数,它们不能写成两个更小的正整数的乘积,从而构成整数乘法的基本单元,这是说:每个大于1的正整数都能写成素数的乘积,而且这个写法本质上是的（即利用乘法交换性,可以把一个写法变到另一个写法,如2×3和3×2本质上是一样的）.
这个结论看上去极其简单,但却十分重要,被称为算术基本定理.它也说明素数在整数乘法中的角色类似于原子在物质世界的角色.素数的内涵是极其丰富的,甚至可以说是广袤又深不可测.很多小学生都能理解的问题到现在都无法证明或回答,如
哥德巴赫猜想:每个大于2的偶数都是两个素数的和.
孪生素数猜想:存在无穷多的素数,它们加上2之后还是素数.
素数的个数:给了一个正数x,在1和x之间有多少个素数？
对哥德巴赫猜想,我们可以试一些偶数,易见6=3 3,20=13 7,100=3 97=41 59,….到目前为止,关于哥德巴赫猜想著名的工作是陈景润1966年证明的结果:每个充分大的偶数是1个素数加上素因子个数不超过2的正整数,俗称“1 2”.关于素因子的个数,我们用例子说一下,素数的素因子个数是1,6=2×3的素因子个数为2,12=2×2×3的素因子个数为3.
对于孪生素数,我们有一些例子,如3,5,11,17,29,41等加2之后还是素数.刚开始很容易找到这样的素数,后面就越来越少了.2013年1黎曼猜想——引无数英雄竞折腰华裔数学家张益唐在孪生素数猜想上取得突破,他证明了存在无穷多个素数,它们中的每一个加上某个比7000万小的数是素数.
对于找出在1和x之间的素数个数,到现在为止,没有一个可用的公式.不过沿着这条路的探索却是成果丰硕,一些伟大的数学家在这里都做出让人惊叹的贡献.首先,我们知道素数有无穷多个.在欧几里得的《几何原本》中有一个优美的证明:
如果我们已经有素数p1,p2,p3,…,pn,考虑它们的乘积加1
很明显,p1,p2,p3, …,pn都不整除这个数,所以这个数的素因子都有别于前面的n个素数,于是我们得到一个新的素数pn 1.继续这个过程,我们就能得到无穷多个素数.比如,从2开始,2 1=3是素数;2×3 1=7是素数;2×3×7 1=43是素数;2×3×7×43 1=13×139,这里的素因子13和139和前面的2,3,7,43是不一样的素数…….
往事越千年,素数有无穷多个的结论是那么清晰,欧几里得的证明是那么得优美,很容易让人觉得这件事情没有进一步研究的价值,以致在后面两千多年的时间里人类在素数个数的认识上陷入停滞.原因是多方面的,其中一个重要的原因是进一步认识素数还需要更多的数学工具和理论,包括微积分、无穷级数、无穷乘积、复分析等.
时间到了18世纪,伟大的数学家欧拉（L.Euler）登场了.
1.2欧拉对素数有无穷多个的证明
欧拉从前面说过的算术基本定理出发,对素数有无穷多个给了另一个证明.我们很快就会看到,这个证明开启了一扇大门,影响是深远的.欧拉的证明用到等比数列的求和.对一个非零数x,下面的数列是一个等比数列（后一项和前一项的比都是一样的）:
它的前n项的求和记作Sn.如果x.=1,就有
（1）
上式的第二个等式可以推导如下:
所以,两边除以,得.
如果x的值|x|小于1,那么当n很大时,xn的值就会很小,比如0.99910000<0.00005.容易理解,如果x的值小于1,当n越来越大时,xn就会越来越接近0,从而Sn=1 x x2 … xn.1=1.xn1.x越来越接近.在数学上,我们是这样说刚才的现象:如果x的值|x|小于1,等比数列1,x,x2, …,xn, …的全部项加起来得到的无穷和1 x x2 … xn.1 …收敛到
（2）
如果p是素数,那么,根据上式,我们有
（3）
现在回到欧拉的证明.如果素数只有有限个,记作p1,p2,p3, …,pk.根据算术基本定理,每个正整数就能写成这些素数的乘积pa1其中a1,a2, …,ak都是非负整数.要得到更多的信息,我们尝试把所有的正整数加起来.
这里我们用记号P表示连加,连加的范围由指标m和ai的取值范围确定.不过上式不能给我们带来什么有用的信息,因为等式中的求和结果都是无穷大.
换一个想法,考虑倒数的求和,则得到
很明显,上面的式子中后一个等式的右边是一个有理数.如果能够说明上式个等式的左边的无限求和的值是无穷大,我们就得到矛盾了,从而说明原来的假设只有有限个素数是不成立的.
我们先注意到如下事实:对任意的正整数j,有
于是,前2j 1=2j 2j个正整数的倒数和为
当j越来越大时,会变得越来越大.可见所有的正整数的倒数和是无穷大.我们写下这个结论:
（4）
欧拉证明素数有无穷多个的方法看上去比欧几里得的方法要复杂得多,但是欧拉的方法的巨大价值在于把无穷级数等微积分的工具用于研究素数,富有启示,开辟了一个辽阔的研究疆域.
我们继续看欧拉用他的思想方法给我们带来了什么.仍利用算术基本定理,以一个固定的数s为指数,考虑正整数幂的倒数和,和前面s=1的情况类似,得到
（5）
注意我们用符号Q表示连乘,连乘的范围由指标的范围确定.上式右端的乘积称为欧拉乘积.